geben sie alle bijektiven abbildungen an f: Menge(1,2,3) bildet auf Menge (1,2,3) ab

Question

folgende Aufgabe hab ich zu lösen.

a) Geben sie alle bijektiven Abbildungen f: {1,2,3} → {1,2,3} an.


Kann ich denk ich lösen, 3^3 = 27 Möglichkeiten.

b) sei n ∈ |N /{0}. Betrachten sie alle surjektiven Abbildungen f: {1,2, ... , n} → {1,2, ... , n}. Wieviele solcher surjektiven Abbildungen gibt es? Beweisen Sie ihre Antwort.

Meine Antwort wäre n^n. Aber wie ich hier den Beweis führe oder wie ich anfangen soll, weiß ich leider nicht, vielleicht kann mir jemand helfen.

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a) vgl. auch hier. https://www.mathelounge.de/278370/verknupfungstafel-wertetabelle-bijektiven-abbildungen

nicht alle deine 27 Möglichkeiten sind bijektiv.

Answer 1

Bei a) hast du alle möglichen Abbildungen gezählt. Die bijektiven sind nur sechs bzw. 3 mal 2 mal 1 ;).

Bei b) verwende: surjektive Abbildung einer endlichen Menge auf sich selbst sind auch immer injektiv.

Gruß

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zu a) Sorry, steh voll auf dem Schlauch, ich finde die  bijektiven abbildungen, indem ich für jedes x ein verschiedenes y finde?

f(1) = 1 oder 2 oder 3
f(2) = 1 oder 2 oder 3
f(3) = 1 oder 2 oder 3

das sind 9. Wie kommt man auf die 6?

zu b) kannst du mir einen Anfang geben, versteh leider nicht was ich machen soll und was dein tip bedeutet!

Danke für die bemühungen.

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Ah ok, es hat Klick gemacht zumindest bei a. 6 bijektive Abbildungen. Gerafft, danke dafür.

Aber bei b komm ich kein Stück weiter! Dankefür die Geduld!

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Wenn die Funktion injektiv und surjektiv ist, so hast du für \(f(1)\) insgesamt \(n\) Möglichkeiten, für \(f(2)\) noch \(n-1 \) Möglichkeiten usw.
Die Antwort wäre also \(n!\) Möglichkeiten.

Answer 2

Der Pfeil → gibt an, von welcher Menge in welche Menge abgebildet wird. Der Pfeil ↦ gibt, an, welches Element der Definitionsmenge auf welches Element der Zielmenge abgebildet wird. Es muss sich in der Aufgabenstellung also nicht um die Identitätsabbildung handeln.

f(1) kann beliebig gewählt werden.

Damit f bijektiv ist, muss f(2)≠f(1) sein. Wieviele Möglilchkeiten gibt es dann noch, f(2) festzulegen?

Damit f bijektiv ist, muss f(3)≠f(1) und f(3)≠f(2) sein. Wieviele Möglilchkeiten gibt es dann noch, f(3) festzulegen?

Multipliziere die Anzahl der Möglichkeiten.

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es gibt 6 Möglichkeiten?

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ich soll aber alle bijektiven Abbildungen angeben. Wie gebe ich sowas an?

und bei surjetive abbildung, soll ich ja die Anzahl angeben mit Begründung.

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Neue Notation: mit (a₁, a₁, ..., a_n) sei die Abbildung f: {1,2, ..., n}→{1,2, ..., n} mit f(i)=a_i ∀i∈{1,2, ..., n} bezeichnet.

Dann ist z.B. (1,2,3) die identische Abildung und (3,1,2) eine weitere bijektive Abvildung.

Eine Abbildung zwischen zwei gleichmächtigen endlichen Mengen ist genau dann surjektiv, wenn sie bijektiv ist.

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also n!

ich finde keinen Beweis für "Eine Abbildung zwischen zwei gleichmächtigen endlichen Mengen ist genau dann surjektiv, wenn sie bijektiv ist."