Grenzwert "Annährung auf Halbgerade"?

Question

Könnte jemand das Folgende kurz erklären oder mir eine Quelle geben, wo ich das verständlicher beigebracht bekomme?

Grenzwert

\( f(\vec{x})=f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \) sei in Umgebung des Punktes \( \vec{x}^{0}=\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right) \) (möglicherweise mit Ausnahme des Punktes \( \vec{x}^{0} \) selbst) definiert. Dann heißt \( g \) Grenzwert von \( f(\vec{x}) \) im Punkt \( \vec{x}^{0} \) wenn für jedes (beliebig kleine) \( \varepsilon>0 \) ein \( \delta>0 \) so existiert, \( \operatorname{da} B \quad|f(\vec{x})-g|<\varepsilon \), wenn \( \left|x_{i}-x_{i}^{0}\right|<\delta \) für alle \( i=1, \ldots, n \). Schreibweise: \( \lim \limits_{\vec{x} \rightarrow \vec{x}^{0}} f(\vec{x})=g \).

Beachte: Annäherung an \( \vec{x}^{0} \) hier nicht nur, wie im \( R^{1} \), 'von beiden Seiten", sondern "auf beliebigen Wegen". Beispiel: \( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \) ist in \( (0,0) \) nicht definiert; existiert Grenzwert?
betrachten Annäherung auf Halbgerade \( y=x, x>0 \)
\( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{2 x^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \)
auf Halbgerade \( y=2 x x>0 \) :
\( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+2 x^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{5 x^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{5}} \)
bei \( x<0: \quad-\frac{1}{\sqrt{2}} \) bzw. \( -\frac{1}{\sqrt{5}} \)
verschiedene Werte \( \longrightarrow{ }^{\sqrt{2}} \) Grenzwert existiert nicht.

Und was ist mit x_{0} überhaupt gemeint?

Answer 1

Der Pfeil über dem x  ist eigentlich die Darstellung eines Vektors.

Es geht hier wohl um den Satz des Eudoxos ,unter diesem Begriff findet man einige Beispiele , so auch bei  ARTM.

Answer 2

Mir scheint es einfach, dass das eine mehrdimensionale Verallgemeinerung des Begriffs des Grenzwertes ist.

Also eine Definition, die mit einem Beispiel im 2-dimensionalen erklärt wird.

Musst du genau diese Seite verstehen? Oder kennst du die Epsilon-schreibweise des Grenzwerts überhaupt?

Du kennst bestimmt die Graphen in der folgenden Skizze

blau: f(x) = 1/(x-2)

rot: g(x) = (x-3)/(x-3)

Beide haben eine Definitionslücke f in x = 2. g in x =3.

Da nun von links und von rechts betrachtet bei g beliebig nahe bei 3 g(x) beliebig nahe an 1 geht, kann man die Definitionslücke mit dem Wert 1 füllen. Bei der blauen Kurve geht das nicht. Von links und von rechts kommen ungleiche Werte raus.

Die Annäherung von links resp. von rechts ist bei einem eindimensionalen Definitionsbereich die Annäherung auf einer resp. der andern Halbgeraden. Im Beispiel mit dem 2-dimensionalen Definitionsbereich, muss du dir den Funktionswert in z-Richtung abgetragen denken. Nun schneidest du auf Halbgeraden im Boden die 3-dim Fläche auf und schaust rechnerisch, ob von jeder Seite her dasselbe rauskommt. Wenn nicht, gibt's dort (konkret in P(0/0) den Grenzwert nicht.