Fallaufstellung für Ungleichung 2/(3x+3) >= -1/(2x-3) und was dann?

Question

Folgende Ungleichung ist gegeben:

$$ \frac { 2 }{ 3x+1 } \ge -\frac { 1 }{ 2x-3 }  $$

Als Fälle habe ich bereits

$$ x<-\frac { 1 }{ 3 }  $$

$$  -\frac { 1 }{ 3 } <x<\frac { 3 }{ 2 }  $$

$$ -x>\frac { 3 }{ 2 }  $$

ermittelt. (was durchaus auch schon falsch sein könnte)

Nun ist meine Frage: Was nun? Was genau muss ich jetzt machen, um die die Lösungsmenge für alle reellen Lösungen für x zu bilden?

Ausmultiplizieren und dergleichen ist übrigens keine Option, da ich diesen spezifischen Lösungsweg benötige.

Comments

Was genau soll dieser ominöse "spezifische" Lösungsweg sein.

---

Das frage ich mich auch.

---

Lösung via Fallunterscheidung. Was denn sonst?

---

Hi, im ersten Fall ist die linke Seite der Ungleichung negativ, die rechte aber positiv, das heißt in diesem Fall wird die Ungleichung niemals erfüllt.

Im dritten Fall, der richtig \(x<\frac 32\) heißen müsste, ist es genau umgekehrt und die Ungleichung wird immer erfüllt.

Im zweiten Fall sind beide Seiten positiv und wir kommen etwa durch Kehrwertbildung auf eine lineare Ungleichung.

Die Mühen der Umformung können also in einigen Fällen erspart werden.

---

Lösung via Fallunterscheidung. Was denn sonst?

---

@hh9144

kleiner Fehlerhinweis
Im dritten Fall, der richtig x < / 3/2 heißen müsste, ist es genau
umgekehrt und die Ungleichung wird immer erfüllt.
Richtig : x > 3/2
Ansonsten ist die Argumentierung aber richtig.

ich bin auch dafür Lösungen mit möglichst  wenig Arbeitsaufwand
zu finden. Gerade bei Ungleichungen oder Gleichungen mit Beträgen
ist es für mich manchmal günstiger " nach Schema f " zu lösen
als mir  Gedanken über Vereinfachungen zu machen.

Deine Denkansätze sind aber lobenswert.

---

Ja danke für den Hinweis! Eigentlich wollte ich \(\frac 32 < x\) schreiben, habe aber aus welchen Gründen auch immer, die beiden Seiten vertauscht.

Answer 1

Fehlerhinweis : dein 3.Fall muß x > 3/2 heißen

Hier meine Berechnungen

D = ℝ \ { -1/3 , 3 / 2 }

Lösungsmenge : ( -1/3 < x < 5 / 7 ) und  ( x > 3 / 2 )

mfg Georg

Comments

Danke vielmals für diese sehr verständlich aufgeschriebene Lösung.  Einzig übrige Frage: wie genau dreht man das Ungleichheitszeichen? Gibt es da eine Faustregel?

---

Auf dem 2.Zettel

Neben der eingekreisten 1 steht rechts ( als Denkhilfe für mich )

Fall1 : x < - 1 / 3
Für den Nenner links bedeutet dies : er wird negativ
Für den Nenner rechts bedeutet dies : er wird negativ
Ganz rechts
1 / negativ ≥ -1 / negativ
Einmal muß ich mit dem linken Nenner multiplizieren ( Umkehrung
des Relationszeichens ) und dann mit dem rechten Nenner ( Umkehrung
des Ungleichheitszeichens ). d.h. das Ungleichheitszeichen verändert sich
nicht

2. Fall : zweimal mit positivem Nenner multipliziert. d.h. das
Ungleichheitszeichen verändert sich nicht

3.Fall : Einmal mit positivem Nenner und einmal mit negativem Nenner
multipliziert.  d.h. das  Ungleichheitszeichen verändert sich.

---

Hi, m. E. sollte es " ... ≤ 5/7 " heißen.

---

Richtig. Danke für den Hinweis.

Answer 2

Warum soll Ausmultiplizieren keine Option sein?

Es ist nur darauf zu achten, dass bei der Multiplikation mit einem negativen Nenner das Relationszeichen gewendet werden muss.

Das ist dann von Fall zu Fall unterschiedlich ...

Comments

Ausmultiplizieren ist keine Option, da ich spezifisch diese Art der Problemlösung erlernen möchte und dieser Lösungweg für diese Aufgabenstellung verlangt wird.