Infimum beweisen mit untere Schranke

Question

Aufgabe: Es seien A und B nach unten beschränkte, nichtleere Mengen reeller Zahlen und sie die Menge C gegeben als C := {a+b | a ∈ A und b ∈ B}

Beweisen Sie, dass C nach unten beschränkt ist und inf C = inf A + inf B gilt.

mein Ansatz:

Sei x ∈ A und y ∈ B

Es gilt : x ≥ inf A und y ≥ inf B

Für jedes c ∈C gibt es x ∈ A, y ∈ B mit c  = x+y

=> c = x+y ≥ inf A + inf B

Damit ist C nach unten beschränkt und inf A + inf B ist untere Schranke von C

Reicht es als Beweis, dass C nach unten beschränkt ist  und wie beweise ich inf C = inf A + inf B ?

Würde mich über jede Hilfe freuen,

Answer 1

Reicht es als Beweis, dass C nach unten beschränkt ist

Ja

und wie beweise ich inf C = inf A + inf B ?

Nimm an, es gäbe eine größere untere Schranke für C als

inf A + inf B

und zeige dann, dass entweder A eine größere unt. Schranke als inf A

oder B eine größere unt. Schranke als inf B besitzen würde.