Zeichnen eines Phasenporträts (Differentialgleichungssystem)

Question

Ich habe folgendes Differentialgleichungssystem gegeben:

u'(t) = v ( u + v - 1 )

v'(t) = u (1 - u - v )

Nun soll zunächst das erste Integral Φ und alle stationären Lösungen berechnet werden.

Das erste Integral habe ich mit Φ = x² + y² = c

und die stationären Lösungen sind alle Punkte (u,v) für die gilt: u + v = 1.

Ist das soweit richtig?

Nun soll das Phasenporträt gezeichnet werden, indem typische Niveaulinien und alle Equilibria ( = stationäre Lösungen) gezeichnet werden. Außerdem sollen durch Pfeile die Richtungen der Lösungskurven angedeutet werden.

Niveaulinien sind in diesem Fall Kreise um den Nullpunkt und die stationären Lösungen eine Gerade v = 1 - u.

Ich kann mir damit allerdings trotzdem nicht vorstellen, wie ich die Lösungskurven zeichnen soll bzw. wie daraus nun ein Phasenporträt wird.

Comments

Die Niveaulinien von \(\Phi\) (warum bei Dir mit x und y anstatt u und v?) sind die Bahnkurven. \(\Phi(u,v)=\text{const.}\) ist eine implizite Darstellung von \((u(t),v(t))\).