Ableitung von arcosh(x) mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion cosh(x)

Question

ich habe mal wieder eine kleine Mathe Frage:

 

Ich habe die Funktion

f:[1,+oo)-->IR: x --> arcosh(x)

g:[1,+oo)-->IR: x--> cosh(x)

g ist die Umkehrfunktion von f.

Ich soll nun die Ableitung von f, also f´(x) mit einem Bestimmten Satz bestimmen.

(Die erste Zeile ist de zu benutzende Satz. Dafür muss f streng monoton und stetig sein)

 

Unter dem Satz ist meine Rechnung, wobei ich eigentlich dachte ich habe das richtig gemacht.

(Doch das Ergebnis stimmt nicht. Ich habe zum vergleich arcosh(x)=ln(x+sqrt(x²-1)) abgeleitet. Doch dort kommt ein anderes Ergebnis heraus. Vielleicht findet ja jemand meinen Fehler :))

 

 

Vielen Dank schonmal!!

Answer 1

Deine Antwort sieht gut aus.

Du kannst den Doppelbruch im Nenner noch wegbringen durch  erweitern und kürzen.

√((x-1)/(x+1)) * √((x+1)^2 /1) = √(x^2 -1)

Also Resultat 1/(√(x^2 - 1)

Wäre dasselbe wie WolframaAlpha bekommt.

Comments

f^{-1} (y) = arcosh(y)

f(x) = cosh(x)

f ' (x) = sinh(x)

Nach deiner Formel:

(arcosh(y))' = 1 / sinh(x)

Hier muss jetzt aus dem x noch ein Term mit y werden.

Ich benutze 1 + sinh^2 ( x) = cosh^2 ( x)

Daher sinh(x) = √(cosh^2 (x)- 1) = √ ( y^2 - 1) 

Allerdings müsste ich an dieser Stelle eine Fallunterscheidung ±√ einführen. Das kannst du bestimmt selbst, wenn noch nötig.

 

(arcosh(y))' = 1 / sinh(x) = 1/√(y^2 - 1) 

gilt vorerst nur, wenn |y| ≥ 1.

 

 

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Natürlich ^^, da bin ich so nicht draufgekommen.

Dankeschön!