Algebra - Vektorraum zeigen

Question

mir wurde folgende Frage gestellt:

Wir betrachten den reellen Vektorraum P der reellen Polynome des Grades≤ 2 zusammen mit der Addition von Polynomen (p+q)(x) := p(x) + q(x) und der Multiplokation mit Konstanten (cp)(x) := cp(x).

a) Zeigen Sie, dass (P,+,*) ein reeller Vektorraum ist.

b) Wir setzen:

p1(x) :=1 + 2x + 3x^2

p2(x) :=1 + 2x^2 ,

p3(x) :=5 + 2x + 13x^2

Ist B = (p1, p2, p3) eine Basis von (P,+,*)?

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Weiß leider gar nicht wie das funktioniert...

"reellen Vektorraum P der reellen Polynome des Grades≤ 2"

zu a):

Ich weiß, dass ich beweisen muss

1.dass (P,+) eine abelsche Gruppe ist

2. dass Distributivität für * und + gilt

3. dass assoziativität für die zweite Verknüpfung gilt

4. die Neutralität von e zeigen

Mein größtes Problem ist nur, dass ich nicht weiß, was für eine Menge von Vektoren mein Vektorraum umfasst. Also welche Zahlen ich bei den Vektoren für den Beweis jeweils einsetzen soll...

Gilt: V = R^2 ????

Answer 1

ist das die Aufgabenstellung im Originaltext?

Deine Vektoren sind Polynome vom Grad kleiner gleich 2. Jeden Vektor \(p(x) \in P\) kann man darstellen durch:

$$ p(x) = ax^2+bx+c, \quad a,b,c \in \mathbb{R} $$

Gruß