Jordan-Normalform Aufgabe nicht verstanden

Question

ich habe Schwierigkeiten mit den folgenden Aufgaben.

 

a) und b) habe ich verstanden und auch geschafft, aber bei c) d) und e) stehe ich irgendwie auf dem Schlauch. Kann mir da jemand was erklären?

lG

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Tipp zu (c): Wenn \(A=SBS^{-1}\) ist, dann ist \(A^2=(SBS^{-1})\cdot(SBS^{-1})=SB^2S^{-1}\).

Answer 1

Hi,
zu (c) musst Du nur den Hinweis nutzten und auf \( n \) verallgemeinern. (d) kann genauso gelöst werden wie für reelle Zahlen. Man muss nur die Kommutativität nutzten. Z.B. \( (A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A^2 + AB + BA +B^2 = A^2 + 2AB + B^2 \)

Eine Aufgabe (e) sehe ich nicht.

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Ein Kommiliton sagte mir, dass er c) mit der vollständigen Induktion gezeigt hat. Stehe total auf dem Schlauch, wie fange ich denn da an? :(

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Du brauchst (c) nicht mit vollständiger Induktion zeigen. Es gilt doch

\( (SBS^{-1})^m = (SBS^{-1}) \cdots (SBS^{-1}) \) Dabei kürzen sich immer \( S \) und \( S^{-1} \) zur Einheitsmatrix heraus. Übrig bleibt \( S B^m S^{-1} \). Reicht das?

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Ah okay, das habe ich verstanden. Also steht da z.B. für m=2:  B*B=B²  und somit gilt die Gleichung immer und so auch die darunter angegebene?

lG

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\( A^{1000} = TJT^{-1} \cdot TJT^{-1} \cdots TJT^{-1} TJT^{-1} = TJ^2 \cdots J^2 T^{-1} = T J^{1000}T^{-1}  \)  mit \( J = D+N \) folgt die Behauptung.

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Das habe ich nun verstanden. Nun noch eine Frage zu Aufgabenteil d):

 

Macht das Sinn?

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Ach nein, das maht gar kein Sinn, so dürfte das jetzt stimmen, oder?

 

Da ja alles über N^{3 = 0} ist, oder?