Wie zeigen das u-v, u+v orthogonal wenn |u|=|v|.

Question

Ich habe ein Problem bei der Folgenden Aufgabe:

Zeigen Sie für beliebige u,v in den reellen Zahlen
u - v, u + v sind genau dann orthogonal, wenn |u| = |v| gilt.
Was bedeutet dies für das Parallelogramm, das von u,v aufgespannt wird?

und zwar verstehe ich nicht wie ich das zeigen soll. Ich weiß, dass das für das aufgespannte Parallelogramm bedeutet das es ein Rechteck ist, da das Skalar von u und v 0 ist und diese dann aufeinanderstehen. Komme allerdings beim "Zeigen sie für beliebige u,v zahlen" nicht weiter.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Comments

Was bedeutet dies für das Parallelogramm, das von u,v aufgespannt wird?

Parallelogramme mit 4 gleich langen Seiten heissen: Rhomben oder Rauten.

https://de.wikipedia.org/wiki/Raute

Rauten haben zueinander senkrechte Diagonalen. 

"für beliebige u,v in den reellen Zahlen "

kann so nicht stimmen. u und v sind Vektoren und keine reellen Zahlen. 

Answer 1

(u - v)·(u+v) = 0 ⇔ (u - v) = 0 ∨ (u+v) = 0 ⇔ u = v ∨ u = -v ⇔ |u| = |v|.

Das geht natürlich nicht mehr so einfach, wenn u und v keine reellen Zahlen sind, sondern Vektoren aus einem ℝ-Vektorraum. Dann müsstest du tatsächlich prüfen, wann z.B. für u,v∈ℝ³ das Skalarprodukt  \( \begin{pmatrix}u_1-v_1\\u_2-v_2\\u_3-v_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}u_1+v_1\\u_2+v_2\\u_3+v_3\end{pmatrix} = 0 \) ist.

> Ich weiß, dass das für das aufgespannte Parallelogramm bedeutet das es ein Rechteck ist.

Das ist es nicht unbedingt. Dazu müssten u und v orthogonal zuenander sein. Das ist aber nicht gefordert. Es heißt lediglich, dass die Seiten gleich lang sind.