Summenfolgen Konvergenz von geometrischer Reihe zu 0.2^{k-1}

Question

$$S_n=\sum _{ k=1 }^{ n }{ 0,2 } ^{ k-1 }$$

a) Berechnen Sie die Summen  s1, s2, s3 und s4

b) Begründen Sie, ob die Reihe Monotonie aufweist

c) Konvergiert die Reihe gegen einen Grenzwert, wenn ja, wie lautet er ?

Comments

a) Berechnen Sie die Summen  s1, s2, s3 und s4

Wo ist da die Schwierigkeit ?

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b und c verstehe ich nicht .

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hast Du a) gemacht ?

nö, oder?

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ich hab die aber ich weiss ob das stimmt bin mir nicht sicher

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Da bin ich auch extrem verunsichert - meine Kristallkugel ist heute leider sehr unruhig.

Ich kann daher Deine Ergebnisse nur sehr undeutlich erkennen.

Wie wäre es, wenn Du sie hier im Thread postest ?

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Bei a habe ich so ausgerechnet ob das stimmt weiss ich leider nicht 

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@Thomas Zimmermann:

Kommt jetzt noch etwas Hilfreiches von dir, oder kann deine Kristallkugel das auch nicht überprüfen?

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@ Wolfgang:

Entschuldige bitte, dass ich zwischenzeitlich geschlafen habe.
Wie Du selbst festgestellt hast, war es nicht ganz zwecklos intensive Rückfragen zu stellen, um die Verständnislücke des Fragestellers zu entdecken.

Zitat:

"du hast das Summenzeichen nicht verstanden:"

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Der Begriff "Monotonie"  dürfte dem Fragesteller wohl auch eher aus dem TV-Programm als aus dem Matheunterricht geläufig sein.

Der Begriff "Grenzwert" löst folglich auch eher Assoziationen zur Flüchtlingsdiskussion aus nehme ich mal an ...

Answer 1

a)

du hast das Summenzeichen nicht verstanden:

S₁ =  0,2^1-1  = 0,2⁰  = 1

S₂ =  0,2^1-1 + 0,2^2-1  = 1,2

S₃ =   0,2^1-1 + 0,2^2-1 + 0,2^3-1  = 1,24

S₄  =   0,2^1-1 + 0,2^2-1  + 0,2^3-1 +  0,2^4-1  =  1,248

b)

Mit wachsendem n kommen immer positive Summanden hinzu.  Dir Reihe steigt also streng monoton.

c)

Es handelt sich um den Grenzwert einer unendlichen geometrischen Reihe:

der Grenzwert ist   \(\frac{S1}{1-q}\)  =   \(\frac{1}{4/5}\) =  \(\frac{5}{4}\) 

Gruß Wolfgang

Comments

danke für die ausführliche erklärung. ich versthe die aufgabe c nicht so ganz. wie kommt man auf 4/5. was soll das q bedeuten ? gibst es eine Formel dafür?

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in Vertretung für Wolfgang:

Wie von Wolfgang angesprochen ist das über die geometrische Reihe zu ermitteln.

Es gilt hierbei:

$$\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q}$$

Du hast den Startwert 1, so muss eine Indexverschiebung durchgeführt werden.

$$\sum_{n=1}^{\infty} q^{n-1} = \frac{1}{1-q}$$

Das entspricht nun Deinem Typ.

$$\sum_{k=1}^{\infty} 0,2^{k-1} = \frac{1}{1-0,2} = \frac{1}{0,8} = \frac54$$

Grüße