Steckbriefaufgabe zu rationalen Funktionen

Question

Hallo :)  mein problem ist folgendes:

Wir sollen eine rationale Funktionsvorschrift finden, die 2 polstellen mit bzw. ohne Vorzeichenwechsel hat und deren Nennerpolynom dritten Grades ist...

Ich habe absolut keine Ahnung wie an die Sache ran gehen soll, Hilfe wäre super lieb!

Answer 1

f ( x ) = 1 / ( ( x-2 ) * ( x-1)^2 )

~plot~  1 / ( ( x-2 ) * ( x+1)^2 ) ~plot~

Comments

Ein Polynom 3. Grades kannst du schreiben als
a*x^3 + b * x + c
oder
( x + a ) * ( x + b ) * ( x + c )

Die Nullstellen sind : -a , -b , -c

Sind die Nullstellen im Nenner sind es Polstellen.
Wir wollen aber nur 2 Polstellen
( x + a ) * ( x + b)^2

Das sind nur 2 Polstellen und zudem 1 Polstelle mit
Vorzeichenwechsel und 1 Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Dies ist vielleicht alles etwas viel.
Ich hoffe ich konnte dir ein Stück weiterhelfen.

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Und was ist wenn man bei beiden polstellen keinen Vorzeichenwechsel haben möchte?

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f ( x ) = 1 / ( | x-2  |  * ( x-1)² )

Den ersten Linearfaktor absolut setzen durch Betragsstriche :
kein Vorzeichenwechsel an den Polstellen

~plot~ 1 / ( abs(x-2  )  * ( x-1)² ) ; x = 2 ; x = 1 ; [[ 0 | 10 | 0 | 15 ]] ~plot~

Zum anderen Fall fällt mir noch nichts ein.

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Ich kann dir auf jeden Fall folgen danke dafür schon mal :) kann man denn in einer Funktionsvorschrift auch betragsstriche setzen? hab ich zumindest noch nie in der Schreibweise gesehen

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Ja.
f ( x ) = | x -2 |
ist eine ganz normale Funktion.

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Ok dann ist das logisch, mein problem ist jetzt noch bei beiden(!) ein Vorzeichenwechsel hinzugekommen

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Vielleicht

f ( x ) = ( x -1 ) / ( ( x-2 ) * ( x-1) * ( x + 1 ) )

Nenner 3.Grades. Läßt sich aber als hebbare Lücke wegkürzen

~plot~ ( x -1 ) / ( ( x-2 ) * ( x-1) * ( x + 1 ) ) ~plot~

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Die Vorschrift verstehe ich aber wie bist du darauf gekommen? Also wie geht man da am besten vor um sowas zu bestimmen?

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Ich verweise auf meinen 1.Kommentar.

Die Erfahrung spielt eine große Rolle.
Diese bekommt man durch Aufgabenrechnen.
Du wirst dich noch steigern. Ganz bestimmt.

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Ok vielen vielen Dank für deine Hilfe!!