Kann mir jemand beim Ansatz helfen? Handelt es sich tatsächlich um den Nullvektorraum?(Vektorraum)

Question

Es sei V:={(x1,......,xn) ∈ ℝⁿ I∑ⁿ _i=1  x_i=0}

Zeigen sie, dass V ein Vektorraum ist

Die Gesetzte konnte ich bis jetzt immer beweisen, aber der Vektorraum irritiert mich...wenn x_i =0 ist, handelt es sich doch um den Nullvektorraum oder?

Muss ich dann die üblichen Gesetzte beweisen, wie zum Beispiel: Assoziativgesetz, Kommu., Neutralelement, Inv. Element für die Addition etc. ....aber mit welchen Vektoren, im Nullvektorraum gibt es doch nur den 0-Vektor oder verstehe ich die Eigenschaft des Vektorraums vollkommen falsch?

Answer 1

"..., aber der Vektorraum irritiert mich...wenn x_i =0 ist, handelt es sich doch um den Nullvektorraum oder?"

Nein. Da steht $$\sum_{i=1}^n x_i=0.$$ Also z.B. $x_1+x_2=0$ für $n=2$. Das sind alle Vektoren der Form $(t,-t)$ mit $t\in\mathbb{R}$.

"Muss ich dann die üblichen Gesetzte beweisen, ..."

Nein. Da der $\mathbb{R}^n$ bereits als Vektorraum bekannt sein sollte, reicht ein Untervektorraum-Kriterium.

Comments

Danke, also:
Der Nullvektor ist Teil des Unterraums und der Unterraum ist entsprechend auch nicht gleich der leeren Menge.
Abgeschlossenheit der Addition:
(x₁,x₂,.....,x_n) +(-x₁,-x₂,.....,x_-n)=0∈V oder ählich?
Abgeschlossenheit der Multiplikation:
λ*(x₁,x₂,.....,x_n)+λ(-x₁,-x₂,.....,x_-n)=0 ?
Wirkt nicht wirklich korrekt :(
Ich raffe es nicht, dass Ganze mit der Nebenbedingung zu beweisen....Kannst du mir helfen?

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Du musst nur pruefen, dass mit $x,y\in V$ auch $x+y\in V$ ist, und mit $\lambda\in\mathbb{R},x\in V$ auch $\lambda x\in V$ gilt. Alles andere ergibt sich von selbst, da die Obermenge $\mathbb{R}^n$ von $V$ schon als Vektorraum bekannt ist.

Answer 2

V ist der Untervektorraum der Vektoren aus ℝⁿ deren Komponentensumme 0 ist. Das heißt nicht, dass jedes einzelene Komponente eines Vektors aus V 0 sein muss. Zum Beispiel ist, wenn n = 3 ist, der Vektor (2, -5, 3) in V, weil 2 + (-5) + 3 = 0 ist.