Konvergenz komplexer Zahlenfolgen.

Question

Aufgabenstellung:

Zeigen Sie, dass eine Folge (z_n) n ∈ℕ komplexer Zahlen z_n = x_n + iy_n mit x_n, y_n ∈ℝ genau dann

wenn gegen z ∈ℂ konvergiert, wenn die Folgen (x_n)  und (y_n) (jeweils n in N) in ℝ gegen die Grenzwerte

lim (n-> unendlich) x_n = Re(z) bzw. lim (n -> unendlich) y_n = Im(z) konvergieren.

Ich habe keinen blassen Schimmer, wie ich diese Aufgabe lösen, ich bitte um Hilfe.

Answer 1

Benutze folgende "doppelte" Betragsungleichung: $$|x|,|y|\le|x+iy|\le|x|+|y|.$$ In Worten: Eine komplexe Zahl wird genau dann betragsmaessig klein, wenn Real- und Imaginaerteil betragsmaessig klein werden.