Monotonie und Konvergenz einer mit Summenformel definierten Folge

Question

Hallo Mathe-Community!

ich fasse mich nun schon seit einiger zeit mit folgender Fragestellung:

zu zeigen ist die Monotonie und Konvergenz für (a_n) für n=1 bis ∞. Dabei gilt:

a_n= $$\sum\limits_{k=n+1}^{2n} k^{-1} $$

wie gehe ich bei einer solchen mit Summenzeichen definierten Folge vor?

Für geometrische Reihen welche mit einer Summenformel definiert werden habe ich bereits viel gefunden, für Folgen jedoch leider nichts.

Freue mich über alle Ansätze oder Vorangehensvorschläge!

Comments

Zur Monotonie zeige \(a_{n+1}-a_n=\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}>0\).

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müsste es nicht andersrum sein? also a_n+1 - a_n = 1/2n+2 - 1/2n+1 ?

Weil wenn ich die Summen aufschreibe und dann kürze bleibt das 1/2n+2 ja bei a_n+1 stehen und nicht bei a_n , somit könnte ich aber kein Monotones wachstum zeigen.

Answer 1

Monotonie :  siehe Kommentar

und zur Konvergenz zeigst du mit dem gleichen Ansatz,

dass es eine Cauchy-Folge ist.