Umkreismittelpunkt berechnen

Question

Sei U der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC

Ich soll zeigen, dass (UA+UB) normal auf AB steht, (UB+UC) normal auf BC und (UC+UA) normal auf CA. (sind alles Vektoren) Mir ist klar, dass z. B. das Dreieck UAB gleichschenkelig ist aber was bringt mir das um zu beweisen, dass die Summe zweier Vektoren normal auf einen dritten steht? Und brauche ich da die Bedingung Vektor a * Vektor b =0 ⇔ a normal auf b?

weiters soll ich zeigen wenn ich den Pfeil UA+UB+UC an U anhänge, bei welchen besonderen Punkt des Dreiecks ich lande

Answer 1

Im Prinzip sollst du zeigen, dass UA+UB die Mittelsenkrechte von AB aufspannt (weil man ja den Umkreismittelpunkt mithilfe der Mittelsenkrechten konstruiert). $$(\vec{UA}+\vec{UB})\vec{AB}=0\Leftrightarrow \vec{UA}\vec{AB}=-\vec{UB}\vec{AB}\Leftrightarrow |UA||AB|\cos(\alpha)=-|UB||AB|\cos(\beta)=|UB||AB|\cos(\pi-\beta)$$Das ist erfüllt, weil UAB gleichschenklig ist, denn wenn man ein in a,b gleichschenkliges Dreieck ansieht, hat es denselben Innenwinkel in A und B. Aber weil diese Winkel von der positiv orientierten Achse $$\overline{\quad AB\quad}$$ abgetragen werden (die Gerade durch A und B), wird einer der beiden Winkel als Außenwinkel gemessen, sodass der Komplementärwinkel pi-beta auftaucht.