Zeigen Sie folgende Aussage, Folge

Question

Sei {an}n∈N ⊂ R eine Folge definiert durch

a0 =1 und an+1 :=1+ 1/a_n

Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

1)an > 0 für alle n∈N

2)an+2 > an genau dann, wenn an < (1+√5)/2

Könnte mir jemand bei den beiden Aufgaben helfen

 

  

Answer 1

1) zeigst du schnell mit Induktion.

2) Rekursive Definition benutzen:

$$ a_{n+2} = 1 + \frac{1}{1+\frac{1}{a_n}} $$

Setze in deine Ungleichung ein und stelle diese nach \(a_n\) um, mit 1) sollten alle nötigen Umformungen der Ungleichung äquivalent sein.

Gruß