Lösungsmenge einer Matrix mit einem Vektorraum geschnitten, soll ungleich der leeren Menge sein,

Question

Hallo liebes Forum,

auf dem LA Übungsblatt kommen wir bei folgender Fragestellung einfach nicht weiter. Es wäre klasse, wenn ihr uns helfen könntet!

Es seien A∈Q^mxn und b∈Q^m, sodass L(A,b)≠0.

Zeigen Sie, dass dann auch L(A,b) ∩ Q^m≠ 0 gilt.

Vielen Dank und einen schönen Tag noch!

Comments

Die Frage soll natürlich wie folgt lauten. Danke für die Berichtigung und bitte um Entschuldigung!

Es seien A∈ℚ^mxn und b∈ℚ^m, sodass L(A,b)≠∅.

Zeigen Sie, dass dann auch L(A,b) ∩ ℚ^m≠ ∅ gilt.

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Es seien A∈ℚ^mxn und b∈ℚ^m, sodass L(A,b)≠∅.

Zeigen Sie, dass dann auch L(A,b) ∩ ℚ^m≠ ∅ gilt.

Aha, und  L(A,b) ist eine Teilmenge von IR^n ?

In Worten wäre das ja dann wohl so:

wenn es eine Lösung mit reellen Komponenten

gibt, dann auch eine mit rationalen.

Wenn A  nur rationale Elemente enthält und die
"rechte Seite b des LGS auch nur aus rationalen Zahlen
besteht, bleiben beim Umformung auf die Stufenform die
Elemente auch alle rational,
da ja nur elementare Zeilenumformungen mit rationalen
Faktoren zu machen sind.
Also wird auch die spezielle Lösung, die man dabei
abliest rational sein.
Wenn es aber überhaubt eine Lösung gibt, wird auch eine durch
Ablesen aus der Stufenform zu gewinnen sein und die ist
rational.   Also enthält  L(A,b)  mindestens eine rat. Lösung
und damit ist  L(A,b) ∩ ℚ^m nicht leer.

Answer 1

Eher so ???????

Es seien A∈Q^mxn und b∈Q^m, sodass L(A,b) = ∅.

Zeigen Sie, dass dann auch L(A,b) ∩ Q^m = ∅ gilt.

Das wäre allerdings trivial.

Die leere Menge geschnitten mit irgendwas ist

immer die leere Menge ??????????

Oder korrigier mal die Aufgabenstellung.

Comments

Ich sehe hier kein "Bearbeitungstool", vermute, weil ich die Frage als Gast gestellt habe?
Habe die korrigierte Fassung unter die Fragestellung geschrieben. Danke für die Aufmerksamkeit!