Äquivalenzrelation, Klasse

Question

Ich habe ein paar Fragen zum Verständnis. (k,l)~(m,n) heißt das, dass die Kreuzprodukte äquivalent sind?

Und wie liest man Z=: (NxN)\~ ?

und wie stellt man sich die Abbildung vor? [(k,l)]~ ist hier die Äquivalenzklasse gemeint und ferner dann die Addition der Äquivalenzklassen definiert?

Answer 1

Frage1: Nein, die definition steht in der Aufgabe. Vielleicht in Worten. (k,l) ist equivalent zu (m,n) genau dann wenn k+m = l+n. Also (1,2)~(18,17)

Frage2: Da musst du dir deine Definition einer Äquivalenzrelation anschauen was das (NxN)/~ genau bedeutet. Es ist auf jeden Fall eine Menge.

Frage3: Ja da sind die Äquivalenzklassen gemeint. Es wird dort eine Addition + von zwei Äquivalenzklassen definiert. Die Äquivalenzklassen sind Elemente aus Z. Und jetzt hat man mit (Z,+) eine Gruppe.

Vielleicht nochmal was hier gemacht wird.

Zunächst wird eine Äquivalenzrelation definiert.
Damit hat man automatisch Äquivalenzklassen.
Dann definiert man auf (oder für) diesen Äquivalenzklassen eine Addition. Dann kann man zwei Äquivalenzklassen addieren und erhält eine neue Äquivalenzklasse.
Dann Bildet man eine Gruppe. Eine Gruppe besteht immer aus einer Menge und einer Abbildung. Die Abbildung ist die gerade definierte Addition. Die Menge ist die Menge aller Äquivalenzklassen.