Grenzwertberechnung L'Hospital

Question

Die folgende Aufgabe habe ich zu lösen:

Folgende Bedingungen müssen ja erfüllt sein für L'Hospital:

1. f,g sind diffbar und stetig

2. g'(x)≠0

3. Lim f(x)=Lim g(x)=0 für x→1

Meine Probleme nun:

zu 1. auf welchem Intervall muss dies der Fall sein? ist zwar auf ganz ℝ so, aber ich meine für die formale Richtigkeit. Ist (1,∞) richtig oder ℝ\1 ?

zu 2. dies müsste ja eigentlich auch für x∈(1,∞) gelten. Oder für ℝ\1 ? Problem ist ja das es für 1,5 nicht gilt..

zu 3. dies stimmt ja also kein problem.

Also laut der Fragestellung würde man ja vermuten das es nicht geht, aber ich könnte ja auch falschliegen :D

Comments

ich soll bei einer Übung die Existenz und den Wert von

lim x->1    x^3 + x - 2 / x^2 - 3x + 2

prüfen. Und dann soll ich begründen ob dies durch zweimalige Anwendung der Regel von L´Hospital gelöst werden kann.

Ich habe die Aufgabe jetzt durch nur eine einmalige Anwendung der Regel berechnet und den Wert -4 raus.

Deshalb verstehe ich nicht ganz wieso ich überhaupt begründen soll, ob dies durch zweimalige Anwendung der Regel gelöst werden kann.

---

Erstens: Klammern sind deine Freunde.

Zweitens: Du sollst begründen ob man die Regel 2 mal anwenden muss und nein muss man nicht.

Drittens: Frage gab es schon wird also gelöscht.

Answer 1

Halllo,

Grenzwertberechnung L'Hospital

Comments

Darauf bin ich auch schon gekommen.

nur ist meine Frage, ob die Voraussetzungen (s.oben) denn überhaupt alle erfüllt sind, sodass ich L'Hospital anwenden darf.

Es ist das erste Mal das wie damit Aufgaben machen, deswegen sollen wir besonders genau alles zeigen..

---

was passiert wenns gegen unendlich laufen soll ? dann kommt nach 2 maligem anwenden on l hospital 3/2 raus was natürlich nicht stimmen kann

---

wieso kann es denn nicht stimmen? also warum ist -4 wahrscheinlich und 3/2 nicht?

---

das sind 2 verschiedene rechnungen schau mal aufs blatt bei dir soll x gegen 1 gehen. dann kommt -4 heraus

wenn es aber gegen unendlich gehen soll kommt nach 2 maligem anwenden 1,5 heraus.

---

okay 2 verschiedene rechnungen war mir klar, aber da wir es ja ausführlich begründen sollen, kann ich ja nicht einfach nur einen satz schreiben.

1. Ich gehe also davon aus das die oben stehenden Bedingungen erfüllt sind? Für welche Intervalle denn dann?

2. Ich kann es nicht durch zwei mal anwenden lösen, da beim ersten und beim zweiten mal verschiedene werte rauskommen. Warum genau ist dies der fall? Weil die Voraussetzungen ja immer noch erfüllt sind..

Und kommt beim zweiten mal nicht 6/2 oder vertue ich mich gerade?

---

hast recht da kommt 6x/2 raus tut mir leid, also ist gibt es keinen grenzwert gegen unendlich

---

wie meinst du jetzt grenzwert gegen unendlich?

weißt du keine antwort auf meine anderen fragen? :/

---

Es geht um einen Grenzwert \(x\to1\). Alle Voraussetzungen muessen in einer (beliebig kleinen) punktierten Umgebung von \(1\) erfuellt sein. Ganz einfach und simpel.

---

OKay ja das ist klar.

Aber ist denn z.B. g'(x) ≠ 0 erfüllt? für x=1,5 ist es ja =0?

---

Ja, und? Was interessiert \(x=3/2\) nach dem oben gesagten für \(x\to1\)?

Ausserdem sollst Du die Regel nur 1x anwenden!

---

Okay vielleicht drücke ich mich auch nur unverständlich aus, daher nochmal neu:

In der Vorlesung wurde gesagt dass folgende Bedingungen gelten müssen (s Bild)

c ist hier ja 1. als wäre 1,5 ja in meinem intervall (a,b) drin, und die bedingung mit der ableitung gilt nicht..

ich hoffe jetzt versteht ihr mich besser..

---

Theorem 8.2:

Entschuldigt das schlechte bild:/

---

Die Voraussetzungen beziehen sich auf \(f\) und \(g\) in \(\lim\frac{f(x)}{g(x)}\), nicht auf \(f'\) und \(g'\) in \(\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}\). Ob sie auch dafuer noch gelten, ist nur von Interesse, wenn die Regel ein zweites Mal angewandt werden soll. Dem ist hier nicht so.

---

Aber da steht doch eindeutig g'(x) ?

---

Ich weiss nicht, was Du immer noch willst. Die Voraussetzungen sind erfuellt, weil \(x=3/2\) beim Grenzwert \(x\to1\) irrelevant ist. Waehle z.B. \([a,b]=[0.9, 1.1]\).

---

genau so etwas wollte ich.. wissen in welchem intervall das gelten muss, da mir nicht ganz klar war ob ich das intervall frei wählen kann.

dann danke für die geduld erstmal und entschuldigung für meine begriffsstutzigkeit :/

---

Habe L'Hospital jetzt einmal angewendet und auch -4 raus.

Eine zweite Anwendung wäre nun nicht möglich, da für die beiden neuen Funktionen nicht gilt: 
lim f(x)=lim g(x)= 0 für x gegen 1

reicht dies als begründung?