Zeigen: Es gibt unendlich viele Matrizen A mit f(A) = 0.

Question

Es seien K ein Körper mit unendlich vielen Elementen und f = X²-1 ∈ K[X].

Für eine 2 x(kreuz) 2 Matrix A ∈ K^2x2 sei f(A):= A²- I, wobei I die 2 x 2-Einheitsmatrix bezeichnet.

Zeigen, dass es unendlich viele Matrizen A ∈ K^2x2 gibt, so dass f(A) = 0, wobei 0 hier die 2 x 2-Matrix bezeichnet,

in der alle Einträge 0 ∈ K sind.

Ich weiß nicht was man da machen muss - kann mir jemand weiter helfen ? Vielen Dank

Answer 1

Es ist \( \begin{pmatrix}0&a\\a^{-1}&0\end{pmatrix}^2 - \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} \).

Comments

Vielen dank für die Antwort.

damit zeige ich das es unendlich viele Matrizen A ∈ K^2x2 gibt, so dass f(A) = 0, wobei 0 hier die 2 x 2-Matrix bezeichnet, in der alle Einträge 0 ∈ K sind.

Das ist der beweis ?

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Wie führt meine Aussage zur Behauptung? Die Antwort auf diese Frage ist der Beweis.

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kommt da nicht

(-1    0)

(0    -1)

raus?

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Wie soll denn bitteschön aus der Gleichung \( \begin{pmatrix}0&a\\a^{-1}&0\end{pmatrix}^2 - \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} \) die Matrix  \( \begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix} \) rauskommen?

Gleichungen sind Aussagen. Das heißt, sie können wahr oder falsch sein. Sie können aber keine Matrix sein.

Obige Gleichung ist eine wahre Aussage, unabhängig davon welche Werte für die Variablen eingesetzt werden.