Die 2te Hab ich mir überlegt einen Widerspruchsbeweis zu machen ; Angenommen limes xn ungleich zu s.
ABER DAS MUSS JA FÜR ALLE FOLGEN GELTEN ???Dann folgt aus der Definition Supremum:limes xn<s . Dann müsste noch zumindest Ein Element der Menge M zwischen dem limes und s liegen.
Die 2. Aussage war ja: Es gibt eine Folge.... Bei Widerspruch müsstest du zeigen: Für jede
Folge gilt das Gegenteil.
Aber man kann doch eine Folge konstruieren, etwa so:
s=sup(M) heißt doch: Für jedes eps > 0 gibt es in Uε(s) mindestens ein Element von M.
Betrachte für jedes n aus N die Umgebung von s mit Radius 1/n. In ihr gibt es mindestens
ein m aus M. Nenne eines davon xn. Dann ist (xn)n∈N eine Folge von Elementen
von M, die gegen s konvergiert.
Gegenrichtung: Um zu zeigen s = sup(M) muss erst mal das 1. gelten ... s≥x.
Das ist ja erfüllt. Dazu kommen muss nur noch die 2. Eigenschaft eines sup:
Für jedes c < s gibt es ein x aus M mit x>c. #
Sei also c<s und xn die in 2 genannte Folge mit lim xn = s
Dann setze eps = s-c ( ist positiv, da s>c )
Dann gibt es ein k mit n≥k ⇒ | s - xn | < eps [ Grenzwert def.]
also s-eps < xn < s+eps
insbesonder s-eps < xn
und wegen eps = s-c
s - ( s-c ) < xn
c < xn
Jedes dieser xn ( die können natürlich auch alle gleich sein.) ist das in # postulierte x.
q.e.d.
