wuzeln beweisen mit bruch

Question

Wir haben das in der vorlesung aufgeschrieben: Bsp: die gleichung x^2=2 hat in Q keine Lösung.

Beweis: angenommen q=n/m element von Q löst x^2=2

Nach kürzen von potenzen von 2 in Zähler und Nenner dürfen wir annehmen dass mindestens eine der Zahlen ungerade ist. Aus q^2=n^2/m^2=2 folgt n^2=2m^2

Das quadrat einer ungeraden zahl ungerade ist, ist n gerade. Damit ist n durch 4 teilbar also m^2 gerade und daher m gerade. -> widerspruch dass mind. eine der zahlen ungerade sein muss.

Kann mir jemand sagen, wie man darauf kommt dass mind eine zahl ungerade sein soll und warum n auch ungerade sein soll?

Answer 1

Hi, es kann gekürzt werden, bis Zähler und Nenner teilerfremd sind. Dann muss einer von beiden ungerade sein und das gilt dann auch für die Wurzeln aus Zähler und Nenner, so sie denn ganzzahlig sind, was aber vorausgesetzt wurde.

Answer 2

Hi Lalelu,

"Kann mir jemand sagen, wie man darauf kommt dass mind eine zahl ungerade sein "

In einem vollständig gekürzten Bruch können Zähler und Nenner nicht beide gerade sein, sonst könnte ich ja nochmal durch 2 kürzen und der Bruch wäre nicht vollständig gekürzt.

warum n auch ungerade sein soll

Das Produkt 2er ungerader Zahlen ist wieder ungerade, somit ist insbesondere das Quadrat einer ungeraden Zahl auch wieder ungerade.

Gruß