Beweis nichtleere Mengen

Question

Ich habe irgendwie keine Ahnung, wie ich das beweisen soll, ich verstehe nichtmal, was genau da steht. Es wäre nett, wenn mir jemand erstens natürlich erklären könnte, wie man das beweist, aber auch, was da überhaupt in der Zeile steht... Also in normal verständlichem Deutsch.

Seien M und N nichtleere Teilmengen von 2^ℕ. Beweisen Sie:

Falls M ⊆ N, so gillt auch ∩_A∈N A ⊆ ∩_B∈M B.

Answer 1

M und N sind hier nichtleere Mengensysteme, also Mengen, die selber Mengen enthalten. In diesem Fall enthalten M und N Mengen, die jeweils natürliche Zahlen enthalten. Du sollst beweisen: Besteht M nur aus Mengen, die auch in N enthalten sind (N kann aber noch weitere Mengen enthalten), so ist der Schnitt über die Mengen in N auch im Schnitt über die Mengen in M enthalten. Also: Alle natürlichen Zahlen, die in allen Mengen in N vorkommen, kommen auch in allen Mengen in M vor (die allesamt auch in N vorkommen).

Comments

Okay vielen Dank. Das macht das ganze schon verständlicher. Und wie beweise ich das?

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Du könntest so argumentieren: Da M Teilmenge von N ist, ist $$\bigcap_{A\in N}A=\bigcap_{B\in M}B\cap \bigcap_{C\in N\setminus M}C\subseteq \bigcap_{B\in M}B,$$ da der Durchschnitt von zwei Mengen immer eine Teilmenge beider Mengen ist, über die geschnitten wird.