Wie schreibe ich folgenden Bruch um?

Question

muss eine Aufgabe mit vollständiger Induktion lösen, habe aber Probleme beim Umschreiben eines Bruches.

Folgender Bruch ist gegeben:

$$ \frac{1*3* ...*(2n-1)}{2*4*...*(2n)}* \pi $$

wie bekomme ich diesen Bruch umgeschrieben?

dachte zuerst es sei das gleiche wie

$$ \frac{(2n-1)!}{(2n)!}* \pi $$

aber mein Tutor meint, das sei falsch.

Kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen? An siche verstehe ich die vollsändige Induktion, aber hier bräuchte ich bitte einen kurzen Denkanstoß.

Danke vorab

Answer 1

das ist in der Tat falsch. Ohne den genauen Zusammenhang hier zu kennen (Wallisches Produkt vielleicht?) könnte dir diese Umformung weiterhelfen:

$$ \frac{1 \cdot 3 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdots 2n} = \frac{(2n)!}{(2n!)^2} $$

Gruß

Comments

Hallo Yakyu,

danke für die schnelle Antwort.

DIe eigentliche Aufgabe lautet:

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion nach $$ n \in \mathbb{N} $$ dass

$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [cos(x)]^{2n} = \frac { 1*3* ... * (2n-1) }{ 2*4* ... * (2n) }\pi$$

die linke Seite habe ich bereits umgeformt zu

$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [[cos(x)]^{2}]^{n} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [[\frac { 1 }{ 2 }cos(2x)+ \frac {1}{2}]^{2}]^{n}$$

und den Induktionsanfang für

$$ n=1$$

durchgeführt

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edit: $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} [[cos(x)]^{2}]^{n} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [\frac { 1 }{ 2 }cos(2x)+ \frac {1}{2}]^{n}$$

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Ok, da wird dir im Induktionsschritt wohl die partielle Integration zur Hilfe kommen :).

Dabei wirst du aber nicht die vorliegende Identität unbedingt brauchen. Den Bruch kürzer zu schreiben hilft dir bei der Aufgabe m.E. nach aber auch nicht sonderlich viel!

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ja mit sicherheit, aber so lange ich für den rechten teil der gleichung nicht weiter komme, bringt mir das nichts :P

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Wie ich im letzten Kommentar beschrieben habe, ist das Umschreiben des Bruches auf der rechten Seite nicht nötig.

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den teil hab ich wohl überlesen, sorrey. werd mich dann nochmal ransetzen :) danke nochmals!

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Kein Problem! Fokussiere dich nicht zu sehr auf die rechte Seite. Die brauchst du nur am Ende.

Answer 2

Bei deiner Formel ist das Problem, dass $$\frac{(2n-1)!}{(2n)!}=\frac1{2n},$$ da sich alle Faktoren bis auf den letzten im Nenner sofort wieder wegkürzen. Denn die Fakultät n! ist eine Kurzschreibweise für die Formel:

$$\prod_{i=1}^ni,$$ während du gerne eine Formel der Form

$$\prod_{i=1}^n2i$$ hättest (nur jede zweite natürliche Zahl bis zu n). Dafür gibt es die Kurzschreibweise n!!. Also:

$$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\pi.$$

Comments

okay, danke erstmal, aber mit dem Produktsymbol, bzw. dem zweifachen i nach dem Produktsymbol hab ich noch nie gearbeitet :/

muss vll. morgen nochmal meinen Prof. anhauen, vll. lässt der mehr durch als mein Tutor

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Das Produktsymbol ist eine andere Art, lange Produkte zu schreiben: Man schreibt hinter das Symbol, nach welcher Formel man den ersten, den zweiten, ... Faktor berechnen kann (z.B. bedeutet das "i", der erste Faktor ist eins, der zweite zwei usw., bei "2i" ist der erste Faktor 2, der nächste 4 usw.). Unten steht, welcher Buchstabe eingesetzt wird und von wo man startet, oben steht, wo man aufhört.

Aber das Produktsymbol ist eigentlich nicht wichtig. Wichtig zu erkennen, ist, dass du gerne jeden zweiten Faktor von 1 bis 2n-1 bzw. 2 bis 2n hättest, während du bei der "normalen" Fakultät jeden einzelnen Faktor multiplizierst.