Zeigen Sie die Nullstellen

Question

Zeigen Sie, dass die Funktion f: R ~ R,

f (x)= x^3-5x^2+1 drei Nullstellen besitzt.

Answer 1

bestimme die Extrema. Dazu die Ableitung bilden:

f'(x) = 3x^2 - 10x

--> x(3x-1) = 0

-> x_(1) = 0 und x_(2) = 10/3

Nun in die Ausgangsfunktion einsetzen (bzw. vorher mit zweiter Ableitung überprüfen).

f(0) = 1

f(10/3) = -473/27

H(0|1) und T(10/3|-473/27)

Du hast also einen Hochpunkt über der x-Achse und einen Tiefpunkt unterhalb der x-Achse. Das fordert drei Nullstellen.

Grüße

Answer 2

f (x)= x³-5x²+1 

wenn du x = -1,  x = 0,  x = 1 und x = 6 einsetzt, erhältst du jeweils ein anderes Vorzeichen.

Nach dem Zwischenwertsatz  muss die (stetige) Funktion dazwischen  jeweils eine Nullstelle haben.

Gruß Wolfgang