Extremalproblem Ableitung

Question

Ein Marktforschungsinstitut hat festgestellt, dass der oberste zu realisierende Eintrittspreis für ein Erlebnis-Schwimmbad bei 12€ liegt. Eine Preissenkung um jeweils 1 Euro würde (in gewissen Grenzen) zu einer Zunahme von jeweils 10 Besuchern pro Tag führen.  Ein Erlebnisbad- Besitzer, der derzeit durchschnittlich 100 Besucher bei 12€ pro Karte hat, denkt über eine Preissenkung nach.

a) Bei welchem Eintrittspreis wäre sein Umsatz am größten ?

Lösung:

Funktion: U(x)=(12-x) (100+10x)

U(x)=-10x²+20x+1200

Bei einer Senkung von  1 Euro, hat er den größt. Umsa..

b) Bei welchem Eintrittspreis wäre sein Gewinn am größten, wenn sich die Kosten pro Tag aus einem festen Betrag von 300€  (z.B. für Miete) und den variablen Kosten von 4€ pro Karte (z.B. für Wasserverbrauch) zusammensetzten.

Hinweis: Der Gewinn errechnet sich als Differenz aus Umsatz und Kosten.

Hauptbedingung:

G(x)=U(x) - K(x)

U(x)=-10x²+20x+1200

K(x)=300+4 (100+10x)=300+400+40x=700+40x

Was ist die Nebenbedinung ?

Zielfunktion:
G(x)=(-10x²+20x+1200) - (700+40x)

=-10x²+20x+1200-700-40x

=-10x²-20x+500

Extremalproblem:
G(x)=-10x²-20x+500

G´(x)=0

G´(x)=-20x-20

0     =-20x+20

x     =1

G(x)=-10x²-20x+500

G(1)=470

Bei einer Preissenkung von 1 Euro wäre sein Gewinn am größten, nämlich 470 €.

Nun soll ich noch eine Schlussfolgerung ziehen..was meint man damit?

Answer 1

a) Bei welchem Eintrittspreis wäre sein Umsatz am größten ? 

p(x) = - 1/10·(x - 100) + 12 = 22 - 0.1·x

E(x) = x * p(x) = 22·x - 0.1·x^2

E'(x) = 22 - 0.2·x = 0 --> x = 110 ME

p(110) = 22 - 0.1·110 = 11 GE

b) Bei welchem Eintrittspreis wäre sein Gewinn am größten, wenn sich die Kosten pro Tag aus einem festen Betrag von 300€  (z.B. für Miete) und den variablen Kosten von 4€ pro Karte (z.B. für Wasserverbrauch) zusammensetzten.

G(x) = (22·x - 0.1·x^2) - (300 + 4x) = - 0.1·x^2 + 18·x - 300

G'(x) = 18 - 0.2·x = 0 --> x = 90

p(90) = 22 - 0.1·90 = 13 GE

G(90) = - 0.1·90^2 + 18·90 - 300 = 510 GE

Nun soll ich noch eine Schlussfolgerung ziehen..was meint man damit? 

Was würdest du dem Schwimmbadbetreiber raten? Sollte er sein Umsatz maximieren oder den Gewinn maximieren.

Bei 11 Euro/Karte wird der Umsatz maxmiert. Bei 13 Euro/Karte wird der Gewinn maximiert.

Beachte hier auch das der oberste zu realisierende Preis 12 Euro/Karte ist und damit 13 Euro/Karte nicht in Frage kommen.

Bliebe noch die Variante also bei 12 Euro/Karte zu bleiben.

Comments

Hallo ich habe zu a) eine Frage..

Also ist a) falsch, das haben wir mit dem Lehrer gemacht, ist das wirklich falsch?

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Ich habe doch das gleiche Ergebnis. Nur geringfügig anders gerechnet. Eben mit der normalen Preisfunktion.

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Ich verstehe nicht wie Du auf die Funktion gekommen bsit.

Wäre nett wenn du einfach Sachen würdest bzw. Bezug nimmst auf das was ich geschrieben habe.

Stimmt das ?

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p(x) = - 1/10·(x - 100) + 12 = 22 - 0.1·x 

Die Preisfunktion stelle ich in der Punkt-Steigungs-Form auf.

Ich weiß, dass bei 100 Leuten die Karte 12 Euro kostet und Pro zusätzliche besuchte Person um 0.1 Euro Günstiger wird.

D.h. bei 110 Leuten nur noch 11 Euro.

Der Erlös bzw. der Umsatz ergibt sich aus Menge mal Preis. Also ist die Menge x mit dem Preis p(x) zu Multiplizieren.

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Die Preisfunktion stelle ich in der Punkt-Steigungs-Form auf.

Das mit der Preisfunktion un der Punkt-Steifungs--Form haben wir nicht.

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Wäre nett wenn du einfach bezug zu meiner Rechnung nimmst

Was habe ich falasch gemacht

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Das machst doch nichts. Du hast

G´(x)=-20x-20

Daraus folgt x = -1 und nicht 1.

Und das ist genau das was ich auch heraus hatte.

Der Preis müsste also erhöht werden.

Du kannst ja auch mal deine Gewinnfunktion zeichnen und nach dem Extrempunkt ausschau halten.

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Daraus folgt x = -1 und nicht 1.

Und das ist genau das was ich auch heraus hatte.

??

Du hast x=90 raus.

G'(x) = 18 - 0.2·x = 0 --> x = 90

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x ist bei mir aber die Menge an Karten die Verkauft werden muss und nicht die Preisminderung.

Und wenn ich nur 90 statt 100 Karten verkaufe, dann sind das 10 weniger und das entspricht einer erhöhung des preises um 1 euro bzw. eine verminderung um -1 euro.

Letzteres hast du heraus.

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Jetzt wird mir alles klar.

Sorry.....

Schaue mir das alles nochmal an :)

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Wie gesagt. Zeichne deine Gewinnfunktion. Wenn nur x >= 0 bei dir der Definitionsbereich ist sollte der Preis bei 12 Euro bleiben um einen maximalen Gewinn zu erzielen.

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Danke nochmal . Mir ist jetzt alles klar geworden.

Nun kann ich nicht wirklcih eine Schlussfolgerung ziehen.

Es gibt ja nur 2 Variaten:

11 Euro -> Umsatz ->1210

oder

13 Euro-> Gewinn-> 510

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13 Euro ist keine Alternative, weil ja der Maximalbetrag einer Karte bei 12 Euro liegen soll.

Will man den Umsatz maximieren sollte man 11 Euro nehmen. Will man den Gewinn maximieren sollte man weiterhin bei 12 Euro pro Karte bleiben.

Im Normalfall sind Unternehmen bestrebt den Gewinn zu maximieren. Man sollte also bei 12 Euro bleiben. Es kann aber Werbegründe geben, z.B. um erstmalig neue Kunden anzusprechen den Preis trotzdem Kurzfristig auf 11 Euro zu senken und damit mehr Kunden anzulocken.

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Dankeschön nochmal :D