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Beweise oder widerlege die folgende Aussage: Es seien v1,v2∈ℝn. {v1,v2} ist genau dann linear unabhängig, wenn {v1+v2,v1-v2}  linear unabhängig ist.

Kann mir jemand einen Hinweis geben?

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Seien {v1,v2}lin. unabh.

und x,y aus R mit   x*(v1+v2) + y*(v1-v2) = 0 -Vektor

also    (x+y)*v1+ (x-y)*v2 = 0 

also x+y=0   und  x-y =0  weil   {v1,v2}l lin. unabh.

also   x+y=0   und  x=y

2y=0 und  x=y

y= 0   und   x=0    also {v1+v2,v1-v2}  linear unabhängig.

umgekehrt :

sei {v1+v2,v1-v2}  linear unabhängig und

angenommen es wären {v1,v2}lin. abh. Also gäbe es x ungleich 0 mit v1=x*v2     .

Dann wäre v1+v2 = x*v2 + v2  = (x+1)*v2    und   v1-v2 = x*v2 - v2= (x-1)*v2   

also beide Vielfache von v2 im Widerspruch zur lin. Unabhäng. der beiden.

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