Aussage beweisen lineare Unabhängigkeit

Question

Beweise oder widerlege die folgende Aussage: Es seien v₁,v₂∈ℝⁿ. {v₁,v₂} ist genau dann linear unabhängig, wenn {v₁+v₂,v₁-v₂}  linear unabhängig ist.

Kann mir jemand einen Hinweis geben?

Answer 1

Seien {v₁,v₂}lin. unabh.

und x,y aus R mit   x*(v₁+v₂) + y*(v₁-v₂) = 0 -Vektor

 also    (x+y)*v₁+ (x-y)*v₂ = 0 

also x+y=0   und  x-y =0  weil   {v₁,v₂}l lin. unabh.

also   x+y=0   und  x=y

           2y=0 und  x=y

             y= 0   und   x=0    also {v₁+v₂,v₁-v₂}  linear unabhängig.

umgekehrt :

sei {v₁+v₂,v₁-v₂}  linear unabhängig und

   angenommen es wären {v₁,v₂}lin. abh. Also gäbe es x ungleich 0 mit v₁=x*v₂     .

Dann wäre v₁+v₂ = x*v2 + v2  = (x+1)*v₂    und   v₁-v₂ = x*v2 - v2= (x-1)*v₂   

also beide Vielfache von v2 im Widerspruch zur lin. Unabhäng. der beiden.