auswertung von graphen

Question

rkann mir jemand mit dieser Aufgabe helfen.

Answer 1

b),c) 

für die Verdoppelungszeit einer exponentiellen Wachstumsfunktion f(t) = f(0) • e^k•t

 gilt:  t_D = ln(2) / k  →  k = ln(2) / t_D 

dem Graph entnimmt man f(0) = 5 und f(3) = 10   → t_D = 3  →  k ≈ 0,23105

→ N(t) = 5 • e^{0,23105 • t}   [WG]

a) Man entnimmt dem Graph Punkte und überprüft, ob die Einsetzung in WG wahre Aussagen ergibt.

d) 

10 = 5 • e^{0,23105 • t}  | : 2

2 = e^{0,23105 • t}  | ln(...)

ln(2) = 0,23105 • t

t = ln(2) / 0,23105  ≈ 3  

(was natürlich zu erwarten war. Die Berechnung funktioniert aber auch für jede andere Anzahl.)

Gruß Wolfgang

 

Answer 2

Etwas grundsätzliches zu Exponentialfunktionen

1. Exponentialgleichung muß nicht unbedingt eine e-Funktion  bedeuten
sondern bedeutet das die unabhängige Variable im Exponenten vorkommt
z.B. 3^x

zu a.)  wie erkenne ich es das eine Funktion eine Exponentialfunktion ist ?
Im ersten Teil des handschriftlichen erkläre weshalb gilt
f = P ( t +1 ) / P ( t )
das heißt habe ich einen Funktionswert an der Stelle x = t + 1 und  teile diesen durch
den Funktionswert x = t dann bekomme ich einen Faktor heraus.
Ist dieser für beliebig gewählte Punkte gleich so liegt eine Exponentialfunktion
vor.
In der Aufgabe f = 1.25. Es liegt eine Exponentialfunktion vor.

b.) Die Funktionsgleichung lautet P ( t ) = 5 * 1.25^t
Ich kann jede Exponentialfunktion in eine andere Exponentialfunktion mit
anderer Basis umwandeln. z.B. zur Basis e.
1.15^t = e^z  | ln ( )
t * ln ( 1.25 ) = z * ln ( e )
z = t * ln ( 1.25 )
P ( t ) = 5 * e^{t*ln[1.25]}

c.) Eine Verdoppelung von 5 auf 10 geschieht zwischen 0 und 3 Zeiteinheiten.

Die Verdoppelungszeit beträgt 3 Zeiteinheiten.

d.) t = 3 Zeiteinheiten.

~plot~ 5 * 1.25^x ; [[ 0 | 5 | 0 | 20 ]] ~plot~