Begrenztes Wachstum: Höhe einer Pflanze und Teich mit Lebensraum für 1000 Fische

Question

ich habe zwei aufgaben die ich leider nicht verstehe. Könnt ihr mir eure vorgehensweise erklären dabei? Danke:

1.Aufgabe:

Eine Pflanze ist zu Beginn der Beobachtung 1m groß. Sie kann höchstens 80m (Grenzgröße) werden. Man geht davon aus,dass die Fichte jährlich 5% der Differenz zwischen aktueller Höhe und Grenzgröße anwächst.erstelle eine rekursive Formel und eine explizite.Nach wie viel Jahren ist die Pflanze 40m hoch?

ich habe dazu herausgefunden;

Grenzwert: 80m , Anfangswert:1m

2.Aufgabe:

Ein Teich bietet für 1000Fische Lebensraum. Zu Beginn eines bestimmten Jahres werden 200Fische ausgesetzt. Der Jährliche Zuwachs beträgt 10% des Unterschiedes zwischen 1000 und dem jeweiligen Fischbestand.erstelle eine rekursive Formel und eine explizite Formel. Wie viel Fische sind nach 12Jahren?

Answer 1

Eine Pflanze ist zu Beginn der Beobachtung 1m groß. Sie kann höchstens 80m (Grenzgröße) werden. Man geht davon aus,dass die Fichte jährlich 5% der Differenz zwischen aktueller Höhe und Grenzgröße anwächst.erstelle eine rekursive Formel und eine explizite.Nach wie viel Jahren ist die Pflanze 40m hoch?

Rekursiv

h(0) = 1

h(t) = h(t-1) + (80 - h(t-1)) * 0.05

Explizit

h(t) = 80 + (1 - 80)·0.95^t

Nach wie viel Jahren ist die Pflanze 40 m hoch?

h(t) = 40 --> t = 13.27

Comments

Probiere jetzt mal die weitere Aufgabe alleine. Untersuche dabei wie ich vorgegangen bin.

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Kannst du mir erklären wie du die formeln aufgestellt hast? Gibt es eine allgemeine formel dazu , die ich dan mit den werten einsetze?

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Hier verwende ich mal genau alle Zahlen aus der Aufgabe

h(t) = 80 + (1 - 80)·(1 - 0.05)^t

Siehst du jetzt schon selber wie die Formel aufgebaut ist.

80 ist der Endbestand 

Die 1 bei 1 - 80 ist der Anfangsbestand. Die 0.05 gibt das Prozentuale Wachstum an.

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Ist das zur zweiten aufgabe richtig die explizite formel:

a(n)=  1000-(1000-200)*0,05^12 = 1000

Für mich siehts falsch aus...

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Eher so

f(t) = 1000 + (200 - 1000)·0.9^t

f(12) = 774

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über der "Fisch-Aufgabe" habe ich auch "gebrütet", kann Deinen Ansatz aber für beide Aufgaben nachvollziehen. Eine Frage habe ich aber noch:

Bei der Aufgabe " Eine rasch wachsende Algenpflanzenart vergrößert ihre Höhe unter bestimmten Bedingungen täglich um 10%. Am Anfang ist sie 5 cm hoch."

Hier würde die Funktionsgleichung lauten:

f(x) = 5 * 1,1^x

Warum lautet die Funktionsgleichung bei der Fisch-Aufgabe nicht

f(x) = 1000 + (200 - 1000) * 1,1^x    ?

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200 - 1000 ist doch der Fehlbestand der Fische. Und der Fehlbestand, also das was noch bis 1000 fehlt, wird ja kleiner und nicht größer, wenn man ein Fischwachstum hat.

x | Fische | Fehlbestand

0| 200 | 800 → Wachstum um 10% von 800

0| 280 | 720 → Wachstum um 10% von 720

0| 352 | 668 --> Wachstum um 10% von 668

...

Du siehst während sich der Bestand der Fische immer um 10% des Fehlbestandes vergrößert, nimmt der Fehlbestand selber immer um 10% ab.

So etwas klarer geworden?

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Ja, definitv! Vielen Dank

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wie kommst Du bei der ersten Aufgabe mit der Fichte auf 13,27 Jahre?

Wenn ich  f(x) =  80 + (1 - 80) * 0,95  ausrechne, komme ich immer auf

69,85.

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Du musst die Gleichung

h(t) = 80 + (1 - 80)·0.95^t = 40

nach t auflösen.

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Okay, danke, das probiere ich nachher mal aus!

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nachdem ich dann doch gestern Nacht einmal versucht habe, die Aufgabe nach t aufzulösen, aber auch nicht auf Dein Ergebnis kam, habe ich es vorhin noch einmal versucht. Leider passten auch diese Ergebnisse nicht. Ich schreibe Dir meinen Rechenweg einmal auf:

80 + (1 - 80) * 0.95^t  = 40

-79 * 0,95^t  = -40        : (-79)

         0,95^t  = 0,51

         ln(0,51) /   ln(0,95)

          t = 13,13   

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Rechnung stimmt.

Deine 13.13 passen doch auch gut zu meinen

h(t) = 40 → t = 13.27

Du hast bei 40 / 72 = 0.51 eben gerundet. Das wirkt sich natürlich auf das Endergebnis aus.

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Okay, danke für die Rückmeldung