im ersten Fall gilt \( f_i(j) = \frac{\lambda_i^j}{j!} e^{- \lambda_i } \) für \( i = 1, 2 \).
Es ist
\( f(k) = \sum_{j=-\infty}^{\infty}\limits f_1(j) f_2(k-j) \)
\( = \sum_{j=0}^{k}\limits f_1(j) f_2(k-j) \)
\( = \sum_{j=0}^{k}\limits \frac{\lambda_1^j}{j!} e^{-\lambda_1} \frac{\lambda_2^{k-j}}{(k-j)!} e^{-\lambda_2} \)
\( = \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{k!} \sum_{j=0}^{k}\limits \binom{k}{j} \lambda_1^j \lambda_2^{k-j} \)
\( = \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)^k}{k!} e^{–(\lambda_1 + \lambda_2)} \).
Dies entspricht einer Poisson-Verteilung zum Parameter \( \lambda_1 + \lambda_2 \).
Im zweiten Fall ist \( f_i(j) = \frac{1}{a} 1_{[0, a]}(x) \) für \( i = 1, 2 \).
Es ist
\( f(z) = \int dx f_1(x) f_2(z-x) \)
\( = \frac{1}{a^2} \int dx 1_{[0, a]}(x) 1_{[0, a]}(z-x) \)
\( = \frac{1}{a^2} \int dx 1_{[0, a]}(x) 1_{[z-a, z]}(x) \)
\( = \frac{1}{a^2} \int_{[0, a] \cap [z-a, z]} dx \)
\( = \begin{cases} 0 \text{ für } |z-a| \geq a \\ \frac{1}{a^2}(a - |z-a|) \text{ sonst} \end{cases} \).
Mister
