Differenzierbarkeit wenn f nicht nicht stetig ist Aufgabe

Question

komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Man soll die Funktion auf Stetigkeit überprüfen. Wo ist die Funktion partiell differenzierbar? Dort soll man den Gradienten berechnen.

$$f:{ R }^{ 2 }\rightarrow R:(x,y)\mapsto \begin{cases} \frac { { x }^{ 3 }y }{ { x }^{ 4 }+{ y }^{ 4 }+{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } } für\quad (x,y)\quad \neq (0,0) \\ 0\quad \quad für\quad (x,y)\quad =(0,0) \end{cases}$$

Habe festgestellt, dass die Funktion in (0,0) nicht stetig ist und somit auch insgesamt nicht stetig ist. Kann ich mir damit den zweiten Teil der Aufgabe sparen?

Danke:

Answer 1

Zunächst einmal :  die Funktion ist stetig für alle (x, y)  außer (0,0).  Insgesamt  nicht stetig ist also nicht richtig.  Also kann die Funktion auf diesem Intervall trotzdem diffbar sein.  Stetigkeit ist ein Kriterium für (totale)  diffbarkeit jedoch nicht für partielle diffbarkeit.

Betrachten wir doch einmal die Definition der Partiellen diffbarkeit bzw

f(x, 0) und  f(0,y)  lassen dies gegen 0 für x und für y  laufen.  Diese beiden Grenzwerte sind in diesem Fall gerade die Definition der partiellen Differenzierung.

Für weitere Infos schau dir mal die Wikipediaseite zur diffbarkeit an.  Da gibt's auch nette bespiele.