Wie berechne ich das Vorzeichen einer Funktion bzw. wie erstellt man die dazugehörige Tabelle?

Question

ich soll das Vorzeichen einer Funktion f(x)=ln(x²+1)-x untersuchen.

D.h. also, ich solle eine Kurvendiskussion durchführen oder?

Ich habe alles berechnet. Mein Problem ist aber, das wir in der Schule immer eine Tabelle erstellt haben, was ich in dem Fall auch machen soll.

Die Tabelle beschreibt die x Werte, die man in die Funktion, erste und zweite Ableitung einsetzt.Für x=0 oder 1 oder unendlich und minus unendlich. Daraus kann man ablesen ob die Funktion wächst oder fällt.

Ich weiß aber nicht, wie man so eine Tabelle erstellt. Woher nehme ich die Werte ? und woher weiß ich dann, ob die Funktion z.B. wächst? Ich vermute ich muss die Intervalle vergleichen , richtig?

vielen Dank, schonmal !

Answer 1

f(x)= ln(x²+1) - x   , f(0)   f(0)=0

f '(x) = 2·x/(x² + 1) - 1 < 0 für x ≠ 1 , 

                                   = 0 für x = 1

Die Funktion ist also streng monoton fallend, hat also nur die Nullstelle x=0

f(1) < 0 , f(-1) >0 

da die Funktion stetig ist, ergibt sich aus dem Zwischenwertsatz:

f(x)     > 0    für x < 0

          <  0   für x > 0

         =  0   für x=0

Gruß Wolfgang

                                   

Answer 2

f(x)=ln(x²+1)-x

Wertetabelle

x  -1
y  = ln( (-1)^2 + 1 ) - (-1) = 1.69

Wertetabelle
x -2        -1         0     1          2
y  3.6  1.69       0     -0.31   -0.39

Für x < 0 ist das Vorzeichen +
Für x > 0 ist das Vorzeichen -

Man könnte noch die Fälle ±∞ berechnen.

~plot~ ln ( x^2 + 1 ) - x ~plot~