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Verständnis der Begriffe
Um deine Frage zu beantworten, ist es wichtig, zunächst ein grundlegendes Verständnis der Begriffe "Signatur" und "nicht ausgeartet" zu entwickeln. Die Signatur einer quadratischen Form ist ein Maß für die Anzahl der positiven und negativen Eigenwerte der Form, wobei dies typischerweise durch die Differenz \(s_+ - s_-\) ausgedrückt wird, wobei \(s_+\) die Anzahl der positiven Eigenwerte und \(s_-\) die Anzahl der negativen Eigenwerte darstellt. Eine quadratische Form \(q\) auf einem Vektorraum \(V\) wird als "nicht ausgeartet" bezeichnet, wenn für jeden Vektor \(v \in V\), \(q(v) = 0\) impliziert, dass \(v = 0\), oder, in einem etwas allgemeineren Kontext, wenn die durch \(q\) induzierte Bilinearform vollen Rang hat.
Zur Aufgabe
Gegeben ist eine quadratische Form \(q\) mit Signatur \(1-n\) auf einem \((n+1)\)-dimensionalen Vektorraum \(V\). Du sollst zeigen, dass für jeden Untervektorraum \(U \subseteq V\), für den gilt, dass \(q(v) = 0\) für alle \(v \in U\), die Dimension von \(U\) kleiner als 1 ist, also, dass \(\text{dim}(U) < 1\).
Vorgehen
Der Schlüssel zum Verständnis und Beweisen der Behauptung liegt im Verständnis der Signatur \(1-n\) und der Tatsache, dass die Quadratische Form \(q\) nicht ausgeartet ist.
- Die Signatur \(1-n\) deutet darauf hin, dass es einen Eigenwert gibt, bei dem sich die Quadratische Form positiv verhält und \(n\) Eigenwerte, bei denen sie sich negativ verhält. Dies bedeutet, dass der Vektorraum eigentlich in zwei "Teile" geteilt wird: einen Raum, wo die Form positiv ist, und einen Raum, wo sie negativ ist.
- Da \(q\) nicht ausgeartet ist, hat der Raum, in dem \(q\) negativ ist, die Dimension \(n\), und der Raum, in dem \(q\) positiv ist, hat die Dimension \(1\).
In Bezug auf \(U\) mit \(q(v) = 0\), wenn \(U\) einen Vektor \(v \neq 0\) enthalten würde, würde dies im Widerspruch zur Annahme, dass \(q\) nicht ausgeartet ist, stehen, denn wenn \(q(v) = 0\) für ein \(v \neq 0\), dann wäre \(q\) in einem gewissen Sinne "ausgeartet" bezüglich \(U\).
Korrektur und Weiterführung deines Ansatzes
Du hast recht mit der Aufteilung von \(V\) in \(U\) und \(U^\bot\), den Rechtsorthogonalen Raum zu \(U\), wobei gilt \(\dim(U) + \dim(U^\bot) = \dim(V) = n+1\). Deine Schlussfolgerung, dass \(\dim(U^\bot) = n\), weil du annimmst, \(\dim(U) < 1\) ist, ist jedoch voreilig.
Was du zeigen musst:
1. Angenommen, \(U\) ist ein Untervektorraum von \(V\), für den gilt \(q(v) = 0\) für alle \(v \in U\). Zeige, dass \(\dim(U) = 0\). Das bedeutet, \(U\) enthält nur den Nullvektor.
2. Nutze die Tatsache, dass \(V\) eine nicht ausgeartete quadratische Form \(q\) mit der Signatur \(1-n\) hat, um zu argumentieren, dass jeder Untervektorraum \(U\), der unter \(q\) nur auf Null abbildet, trivial sein muss, da die nicht ausgeartet Form bedeutet, dass es keine "echten" Untervektorräume (also mit \(\dim > 0\)) gibt, auf denen \(q\) nur Null ergibt.
Um dies formal zu beweisen, muss man aus der Annahme ausgehen, dass es einen solchen Untervektorraum \(U\) gibt, und dann zeigen, dass dieser Untervektorraum notwendigerweise trivial sein muss, also \(U = \{0\}\). Das Prinzip der Argumentation basiert darauf, dass die Signatur der quadratischen Form es nicht zulässt, dass es einen Unterraum mit einer "positiven Dimension" gibt, auf dem die quadratische Form ausschließlich Null wird, ohne die Nicht-Ausgeartetheit von \(q\) zu verletzen.
