Allgemeine Formel für den Flächeninhalt von n-Ecken?

Question

ich habe eine Seite gefunden mit der man n-Ecke berechnen kann mit einer allgemeinen Formel: https://de.serlo.org/mathe/geometrie/dreiecke-vierecke-kreise-und-andere-ebene-figuren/regulaere-n-ecke/regulaere-vielecke

aber wenn ich den Flächeninhalt von einem 6 Eck ausrechnen möchte, kommt da was anderes raus als in der Lösung.... Die Seiten des 6 Ecks sind 6 m lang. Der Radius (bis zum Bodenmittelpunkt) beträgt 5 m. Gibt es eine allgemeine Formel für gleichmßige n-Ecke? Ist die Seite richtig oder habe ich etwas falsch gemacht? Ach ja, Fkächeninhalt kommt ca. 65 quadratmeter raus.

Answer 1

ein regelmäßiges n-Eck setzt sich aus n gleichschenkligen Dreiecken zusammen. Diese erhält man, wenn man jede Ecke mit dem Mittelpunkt verbindet. Die Verbindungslinie ist dann jeweils ein Radius des Umkreises, den man um den Mittelpunkt durch alle Ecken zeichnen kann.

r sei also der Radius des Umkreises des regelmäßigen n-Ecks 

Der Mittelpunktswinkel in jedem dieser Dreiecke beträgt 360°/n

Deshalb beträgt der Flächeninhalt jedes einzelnen Dreiecks  AΔ = 1/2 • r² • sin(360°/n)

A_n-Eck = 1/2 • n • r² • sin(360°/n)

Gruß Wolfgang

Comments

Auch wenns eine dumme Frage ist: 0,5*r^2*sin(360/n) ähnelt der Formel g*h*0.5. Ich verstehe nicht wie man so den Flächeninhalt berechnen kann. Bin bissl zurückgeblieben in Mathe, sorry^^

---

In jedem Dreieck ist  der Flächeninhalt  = 1/2 • Seite1 • Seite2 • sin(eingeschlossener Winkel).

Im Sechseck ist die Seitenlänge = Umkreisradius.

→  A_6-Eck = 1/2 • 6 • 6² • sin(60°) = 93,53  [m²] 

Mit deiner Formel A = 6 * 1/2  g * h  = 6* 1/2 * 6 * √(6² - 3²)  erhältst du das gleiche

Answer 2

Der Flächeninhalt beträgt 93,531 qm, hier ist ein Onlinerechner: http://rechneronline.de/pi/sechseck.php