Question

Berechnen Sie die Nullstellen sowie Koordinaten und Art der lokalen Extremstellen der Funktion

\( f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \quad \text { mit } \quad f(x):=\frac{-x^{4}+10 x^{2}-9}{x^{2}} \)

Berechnen Sie außerdem den Inhalt der Fläche, die die Funktion \( f \) zwischen ihren Nullstellen mit der \( x \)-Achse vollständig einschlieBt. Hinweise: Zur Nullstellenberechnung ist die Substitution \( \quad z:=x^{2} \quad \) hilfreich.

Sollten Sie die Nullstellen nicht bestimmen können, dann berechnen Sie statt der geforderten Fläche das bestimmte Integral

\( \int \limits_{1}^{3} f(x) d x \)

Answer 1

nullstelllen mit der substitution z=x^2 gibt z= 1 oder z=9 also

nullstellen  1   -1    3  -3

f ' (x) = 18/x^3  - 2x 

also  f ' (x) = 0 wenn  x = ±√3   

mit f ' ' (x) = -54/x^4 - 2 also

f ' ' ( ±√3 )  negativ, also  an beiden Stellen Hochpunkte.

~plot~(-x^4+10x^2-9)/x^2~plot~

und die beiden Flächen sind gleich groß. Also reicht

Integral von 1 bis 3 auszurechnen und dann verdoppeln.

Stammfunktion ist -x^3/3 + 10x + 9/x  also

Integral = 16/3  und das mal 2 gibt   32/3 .