Richtungsableitung berechnen: f(x,y) = (x^2 + y^2)cos(y)

Question

Hallo ich soll von 2 funktionen die Richtungsableitung berechnen ,

Ich kenne die Formel dafür aus der VO : $$D\xrightarrow { a } *f(\xrightarrow { p } )=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(\xrightarrow { p } -h*\xrightarrow { a } )-f(\xrightarrow { p } ) }{ h }  } $$

jedoch haben wir aufgeschrieben dass a ein einheitsvektor ist mit |a|=1 . jedoch ist das hier nicht der Fall .Ghet das dann überhaupt?

Ich hänge etwas diesen Limes zu berechnen , bei mir fällt das h im nenner irgendwie nicht weg ( durch 0 kann man nicht dividieren ) .

Wäre dankbar für Hilfe .!

Answer 1

Es gibt einen Zusammenhang mit dem Gradienten

Skalarprodukt von Gradient und normierter Richtungsvektor = Richtungsableitung.

Hier also

f ' _x (x,y) = 2x*cos(y)       f ' _y (x,y) = 2y*cos(y)- (x^2 + y^2) * sin(y)

also am Punkt P  grad = ( 1  ;   2pi*(-1) - ( 1/4 + 1) * 0)

= ( 1  ;   -2pi)   

also noch Vektor a normieren |a| = wurzel(20)

also D_af =   ( 1  ;   -2pi)   * (  4 ; 2 )  /    wurzel(20)

=  ( 4   -  4pi) / wurzel(20)  = -1,9155