Wie komme ich auf die genannte Gleichung?

Question

wie komme ich von

e^2y * (x-1) = -x-1

auf

y = 0.5 log(   (1+x) / (1-x)    )

Ich habe irgendwie gearde eine Denksperre, da bei mir 0.5 log ( (-1-x)   /  (1-x))  herauskommt :(

Comments

Was ist denn deine  Aufgabe? Ableiten?

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Meine eigentliche Aufgabe ist es die Umkehrfunktion von tanh zu zeigen. Bekannt ist sie mir ja schon!

0.5 log(   (1+x) / (1-x)    )

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Sprich du stellst nach y um.

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tanh = sinh / cosh = e^x - e^-x / e^x + e^-x

=> x = e^y - e^-y / e^y + e^-y

^...

^<=>e^2y - 1 / e^2y +1 = x
...

<=> e^2y * (x-1) = -x-1

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Soweit sollte alles richtig sein ...

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Davon bin ich jetzt ausgegangen.

Answer 1

e^2y * (x-1) = -x-1

Wir müssen das y auf einer Seite stehen haben. Sprich du teilst durch (X-1)e^2y = -(x-1)/ (-x-1)Um jetzt an das y heranzukommen bilden wir den ln.Es entsteht:2*y*ln(e)= ln(-(x-1)/ (-x-1))    ln(e)=1   durch 2 teileny= 1/2*(ln((-(x-1)/ (-x-1)))   Wichtig: Du kannst nur den mit dem ln e auflösen. Mit log geht das leider nicht. Das ist ein Fehler in deiner Rechnung.

Answer 2

-1-x = -1 + (-x), so ist die Subtraktion definiert.

-x = -1·x, wurde irgendwann am anfang des Studiums mal für Körper bewiesen

-1 = -1·1, weil 1 neutral bezüglich Multiplikation ist.

Also ist -1-x = -1·1 + -1·x = -1·(1+x) = -(1+x) wegen Distributivgesetz.

Auf ähnliche Weise kann man zeigen, dass x-1 = -(1-x) ist.

Also ist (-1-x)/(x-1) = -(1+x)/(-(1-x)) = (1+x)/(1-x)