Entwickeln Sie die Funktionsgleichung 6. Grades.

Question

Entwickeln Sie die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion des 6. Grades mit folgenden Eigenschaften: a=-1; doppelte Nullstelle bei -5; einfache Nullstelle bei -1; dreifache Nullstelle bei 3; Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei Y(0/4)

Answer 1

f(x) = - 4/675·(x + 5)^2·(x + 1)·(x - 3)^3

Was bedeutet das a = -1 ?

Comments

Wie kommt man auf diese Lösung?

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Wenn bei einer Funktion die Nullstellen und deren vielfachheiten bekannt sind kann man die faktorisierte Form bzw. die Nullstellen Form aufschreiben.

Dabei bedeutet (x - a)^b man hat eine b-fache Nullstelle bei a.

Die Faktoren schreibst du einfach hintereinander auf. Schau mal wie ich das gemacht habe. Du hast aber noch nicht beantwortet was a = -1 bedeutet.

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Was bedeutet das a = -1 ?

Vielleicht, dass a nicht - 4/675 sein soll?

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Dann gibt es ein Problem mit dem Punkt (0|4)

Hast du dann noch eine gute Idee?

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Nein, eigentlich nicht. Bei acht Bedingungen für eine ganzrationale Funktion sechsten Grades finde ich für gewöhnlich die Aufgabenstellung oder ihre Übermittlung ein wenig schräg und beschäftige mich nicht weiter damit. Die Aufgabendarstellung selbst ist ja klar.

Answer 2

Ich gebe einmal ein etwas einfacheres Beispiel

Eine Funktion 3.Grades hat :
- einfache Nullstelle bei x = 4
- doppelte Nullstelle bei x = 8

Aussagen
f ( x ) = a*x^2 + b*x + c
f ´( x ) = 2 * a * x + b
f (4) = 0
f (8) = 0
f ´ ( 8) = 0  ( Berührstelle )

Aus den Aussagen erhält man 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
und kann gelöst werden.

Geht gleich weiter.

Comments

Ich bin entsetzt.
Ich hatte obige Antwort komplett umgearbeitet.
leider ist diese Antwort im System verschwunden.
Ich hatte das schon ein paar mal.
Betrachte obige Antwort als gelöscht.
Vielleicht schreibe ich morgen noch einmal etwas.

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Hier die verschwundene Antwort.

f ( x ) = a*x^6 * b * x^5 + ...

Weiter ist gegeben

einfache Nullstelle : x = -1 : ( x + 1 ) = 0
zweifache Nullstelle : x = -5 : ( x + 5 ) * ( x + 5 ) = ( x + 5 )^2 = 0  ( Berührpunkt )
dreifache Nullstelle : x = 3 : ( x - 3 ) * ( x - 3 ) * ( x - 3 ) = ( x - 3 )^3 = 0 ( Sattelpunkt )

Mathematisch können wir durchführen :
wir multiplizieren die Terme.

( x +1 ) * ( x + 5)^2 * ( x -3 )^3 = 0

Beim Einsetzen der angegeben Nullstellen ergibt sich 0.

Ausmultipliziert ergibt sich eine Funktion 6.Grades

x^6 + b * x^5 + .... den wir als Funktionsterm verwenden können.

f ( x ) = x^6 + ...
 
Jetzt haben wir noch die Angabe eines Punktes ( 0 | 4 ) das heißt
f ( 0 ) = 4
Bisher ist
( x +1 ) * ( x + 5)^2 ) * ( x -3 )^3  für x = 0
( 0 + 1 ) + ( 0 + 5^2 ) * ( 0 - 3 )^3 = - 675

Durch einen passenden Vorfaktor a
f ( x ) = a * ( x +1 ) * ( x + 5)^2 * ( x -3 )^3
soll
f ( 0 ) = a * ( 0 + 1 ) + ( 0 + 5^2 ) *( 0 - 3 )^3 = a * -675 = 4 betragen

a =  - 4 / 675

Der Funktionsterm lautet
f ( x ) = - 4 / 675 *  ( x +1 ) * ( x + 5)^2 ) * ( x -3 )^3

Das Ganze ist die faktorisierte Form des Terms.
Ausmultipliziern zur Normalform kann auch durchgeführt werden.

~plot~ -4 / 675 * ( x + 1 ) * ( x+5)^2 * ( x -3)^3 ~plot~