Funktionsschar mit Nullstelle, Extrempunkt und Wendepunkt

Question

Ich habe neue Hausaufgaben bekommen, was wir noch nie im Unterricht haben. Kann jemand mir helfen und wie möglich leicht erklären wie Funktionsschar geht, damit ich schnell verstehen kann. Es wäre super. Ich habe 3 Aufgaben:


1. Führen Sie für die Funktionsschar f_t eine Funktionsuntersuchung durch.
    f_a(x) = x² + (1-2a)x - 2a ; Nullstelle, Extrempunkt und Wendepunkt

2. Bestimmen Sie die Ortskurve für den angegebenen charakteristischen Punkt.
    f_z(x) = x³ - 3zx² + (3z² - 4)x - z³ + 6z ; Wendepunkt

3. Bestimmen Sie die Ortskurve für den angegebenen charakteristischen Punkt.
    f_b(x)= 1/b x (x+b)² ; Hochpunkt




 

Answer 1

f(x) = x^2 + (1 - 2·a)·x - 2·a
f'(x) = 2·x - 2·a + 1

Nullstellen f(x) = 0

x^2 + (1 - 2·a)·x - 2·a = 0
x = 2·a und x = -1

Extrempunkt f'(x) = 0

2·x - 2·a + 1 = 0
x = a - 1/2

f(a - 1/2) = - a^2 - a - 1/4

Da die Funktion eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist das ein Tiefpunkt. Wendepunkte gibt es bei der Parabel nicht.

Comments

f(x) = x^3 - 3·z·x^2 + (3·z^2 - 4)·x - z^3 + 6·z
f'(x) = 3·x^2 - 6·z·x + 3·z^2 - 4
f''(x) = 6·x - 6·z

Wendestelle f''(x) = 0
6·x - 6·z
z = x

Ich setzte für z in die ursprüngliche Funktion x ein

y = x^3 - 3·x·x^2 + (3·x^2 - 4)·x - x^3 + 6·x = 2·x

Skizze

---

f(x) = 1/b·(x + b)^2

Gegeben ist hier die Scheitelpunktform einer Parabel. Man kann den Scheitelpunkt bei S(-b, 0) ablesen. Also ist die Ortskurve aller Scheitelpunkte:

y = 0

Skizze

---

Danke für die Lösung, aber ich möchte auch eine Erklärung haben.
Sonst werde ich es nie verstehen können .....
Kannst du mir bitte erklären, wie du gerechnet hast?

---

Sag am besten was du nicht verstehst. Ich kann ja nicht auf verdacht jeden einzelnen Schritt erklären.

Probiere am besten am Anfang anzufangen und die erste Zeile zu verstehen. Verstehst du sie ist gut, verstehst du sie nicht fragst du. dann machst du dich an die zweite zeile uns.

bitte nicht alles durchlesen und dann nur sagen ich versteh es nicht.

---

Entschuldige, es ist mein Fehler, dass ich nichts gesagt habe .. Also:

zum Beispiel bei der Aufgabe 1:
f_a(x)=x²+x-2ax-2a   ;   f_a'(x)=2x+1-2a  <--- so habe ich gerechnet .. Wie ich dann mit Nullstelle weiter lösen kann, weiss ich nicht. Ich weiß nur, dass ich p,q-Formel rechnen soll mit x²+x-2ax-2a=0, doch ich wundere mich wie ich mit p,q-Formel rechnen soll, ist es also p=1 und q=2 oder wie?

 

Bei Aufgabe 2 begreife ich gar nicht, wieso du für z in die ursprüngliche Funktion x eingesetzt hast.

f(x) = x3 - 3·z·x2 + (3·z2 - 4)·x - z3 + 6·z
f'(x) = 3·x2 - 6·z·x + 3·z2 - 4
f''(x) = 6·x - 6·z

Wendestelle f''(x) = 0
6·x - 6·z
z = x

Ich setzte für z in die ursprüngliche Funktion x ein

y = x3 - 3·x·x2 + (3·x2 - 4)·x - x3 + 6·x = 2·x

 

Bei Aufgabe 3:
f(x) = 1/b·(x + b)² hast du so geschrieben, aber da fehlt x oder? f_b(x)= 1/b x (x+b)²
Und ja sonst verstehe ich diese Aufgabe auch nicht ganz ...

---

Aufgabe 1

x² + (1 - 2·a)·x - 2·a = 0
p = 1 - 2a
q = -2a

Aufgabe 2

Wir haben eine Wendestelle bei x, wenn z = x. Wenn man diese Bedingung in die Originalfunktion für z einsetzt bekommt man die Ortskurve aller Wendepunkte.

Das gilt allgemein so.

Aufgabe 3. Hab ich verkehrt interpretiert

f(x) = 1/b·x·(x + b)^2 = x^3/b + 2·x^2 + b·x
f'(x) = 3·x^2/b + 4·x + b
f''(x) = 6·x/b + 4

Hochpunkt bei f'(x) = 0

3·x^2/b + 4·x + b = 0
x = -b/3 ∨ x = -b

f''(-b/3) = 2 > 0 --> Tiefpunkt

f''(-b) = -2 < 0 --> Hochpunkt

x = -b
b = -x

Ich kann jetzt also für b in die ursprüngliche Funktion -x einsetzen.

y = 1/(-x)·x·(x + (-x))^2 = 0

Skizze

---

OK, dann ist bei Aufgabe 1 falsch was ich geschrieben habe das mit: f_a(x)=x²+x-2ax-2a ?

Aufgabe 3 habe ich noch nicht ganz verstanden da für mich durcheinander ist, auch wenn ich schon paar mal versucht habe zu konzentrieren .... Da ich mich frage woher diese Funktion kommt mit: x³/b + 2·x² + b·x, weil ich nicht begreife wie ich von 1/b·x·(x + b)² rechnen kann :-(

---

Nein deines ist nicht falsch. Du kannst aber x ausklammern um die pq-Formel zu benutzen.

Bei Aufgabe 3 multipliziere ich zunächst aus, um einfacher die Ableitung bilden zu können.

1/b·x·(x + b)² = 1/b * x * (x^2 + 2bx + b^2) = 1/b * x^3 + 2 * x^2 + b * x