Entscheiden Sie mit dem Kriterium (c) aus Satz 24.1.8 des Kurzskriptes jeweils, ob die Matrix A diagonalisierbar ist.

Question

hier ist die Aufgabe. Ich weiß wirklich nicht, wo genau ich anfangen soll. Ich erwarte hier keine komplette Lösung, sondern nur einen Ansatz. Brauche hierbei wirklich Hilfe, da die Aufgabe sehr wichtig für die Klausur ist.

:)

Answer 1

c) bedeutet: Eine nxn-Matrix ist diagonalisierbar genau dann, wenn die Summe der Dimensionen der Eigenräume (also den geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte) zu den Eigenwerten gleich n ist. Was du also konkret machen sollst:

-> Eigenwerte bestimmen

-> Eigenräume zu den Eigenwerten bestimmen

-> Überprüfen ob bei der Summe der Dimensionen \(n\) rauskommt.

Gruß

Comments

Bei der Überprüfung ob bei der Summe der Dimensionen n rauskommt bin ich mir nicht sicher. Hier mal meine Überlegung für die (a) ich habe als EW(A)=1 und Eig(A,λ)=(0 0)^T raus. Die ∑dim(Eig(A,λ) müsste 2 sein, da die Matrix A aus zwei linear unabhängigen Zeilen besteht. Somit müsste  n=2 sein. Da es aber nur einen EW(A) und damit auch nur einen Eig(A,λ) gibt dürfte die Matrix A nicht diagonalisierbar sein. Habe ich irgendwo einen Denkfehler in meiner Überlegung?

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Es gibt den Satz : Besitzt das charakteristische Polynom einer 

n×n-Matrix weniger als n Nullstellen, so ist die Matrix nicht diagonalisierbar.ich habe für das charakteristische Polynom lamda = 1 raus. Also eine Nullstelle, heißt das nun dass Matrix nicht diagonalisierbar ist? Oder habe ich was falsch verstanden?

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Kurze überprüfung bitte bei der aufgabe b)

ich habe eigenwerte 2 und -1 raus. Eigenraum habe ich für lamda=2 (1|-1|1) und für lamda=-1 (0|-2|1) raus. ist es soweit richtig ?

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Ja, jetzt fehlt noch der zweite Eigenraum für lamda = -1

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ich habe für lamda = -1 für den zweiten EIgenraum : ( 0 0 0 ) raus.

ist das so richtig ?

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Hey nochmal zu deinem 1. Kommentar (also zur Aufgabe a))

Der Nullvektor kann keinen Eigenraum aufspannen, liegt aber selbstverständlich in jedem Eigenraum! Der Nullvektor wird nicht als Eigenvektor gezählt, da es sonst unendlich viele Eigenwerte gebe! Du hast dich da schlicht weg verrechnet. Der Eigenraum zum EW 1 wird vom Eigenvektor (1,0)^T aufgespannt hat also die Dimension 1. Somit kann die Matrix (da es keinen anderen EW gibt) nicht diagonalisierbar sein (was du natürlich auch mit deinem anderen Satz selbst bestätigen kannst)..

Den gleichen Rechenfehler scheinst du auch bei der b) gemacht zu haben.

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Der Grund warum du da (0,0) als Eigenvektor raus hast, ist offensichtlich:

Du kriegst das LGS

(0 1 0 0) raus -> daraus folgt das x2 = 0 ist. Über x1 wird aber keine Aussage getroffen, deswegen ist diese frei wählbar, also: (x1 x2) -> (x1 0) -> x1(1 0). Damit ist der Eigenvektor des Eigenwertes = 1 (1 0).