Grenzwert bestimmen a_(n):= √(n)/(n+1) . Zwei verschiedene Lösungen.

Question

Ich soll den Grenzwert bestimmen.

Dies habe ich 2 mal gemacht (Grenzwertsätze / Testeinsetzung) und komme auf zwei verschiedene Lösungen.

Aufgabe lautete: Ist die Folge konvergent oder divergent.

Und darf man überhaupt die Grenzwertsätze benutzen ? Und was gilt denn unter Limes n->+unendlich oder - unendlich, woher weiß man das?

Answer 1

$$n^{0.5} / n = n^{-0.5} \neq 1^{0.5}$$

Comments

Vielen Dank für die Hilfe:

Wie kommt man auf
n^-0,5

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https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Potenzgesetze

Das 5. Gesetz. Kein Ding. ;)

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Beim 5. Gesetz steht daneben ein Kommentar dazu, was ich nicht ganz verstehe..

Vielelicht kannst du das mir erklären...

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Das sind Einschränkungen, für welche a, r und s du das Gesetz anwenden darfst. Dass a≠0 sein muss, ist ja irgendwie klär. Der Rest ist im Prinzip egal. Du kannst für a, r und s sonst alles einsetzen. Die eine Ausnahme, die da gemacht wird, ist mir in all den Jahren noch nie über den Weg gelaufen. :P

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Okay vielen Dank für die Hilfe :)
Da steht ja beider Ausnahme, dass a kleiner als 0 wird wenn r und s rationale Zahlen mit unger. Nennern.
Kannst Du vielleicht dazu ein Bsp geben ?

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Also demzufolge würde das ja nicht für a<0 und irrationale Zahlen r und s gelten, z.B.:

$$\frac{(-1)^{\pi}}{(-1)^{2 \cdot \pi}} = (-1)^{-\pi}$$

und das ist komplex. Der Beweis für das Potenzgesetz funktioniert halt nur für die Einschränkungen, ansonsten kommt immer was komplexes heraus.

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Dankeschön für dei Hilfe.

Ich hoffe diese kleinen Fragen noch kurz beantworten:

1.) Den bruch den Du aufgeschrieben hast gilt nicht, da r und s irrational wären?

2.) Der Bruch würde gelten, wenn r s raional wären oder?
     Wikipedia sagt aber das s ungerade sein muss oder? aber gibt es eine raiontale Zahl die ungerade ist ???

3.) Zusammengefasst kann man doch sagen : ?
     a, r, s dürfen reelle Zahlen sein und r, s dürfen auch rational sein. Wenn sie rational sind muss a größer als null sein oder?

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1. r und s dürfen irrational sein, aber nur wenn a>0 ist. Da jedoch a<0 ist, dürfen r und s nicht irrational sein.

2. Wenn r und s rational sind UND einen ungeraden Nenner haben, dann würde es gelten. z.B. mit

$$r=1 = \frac{1}{1} \ , \quad s = 2 = \frac{2}{1}$$

hast du zwei rationale Werte mit ungeraden (1) Nenner. Damit ergibt sich:

$$\frac{(-1)^1}{(-1)^2}=-1$$

Wenn jedoch s=3/2 gilt, also rational ist, jedoch einen GERADEN Nenner hat, ergibt der Bruch etwas komplexes.

Ob es eine rationale Zahl gibt, die ungerade ist? Alle ungerade Zahlen sind rational. :P

3. Das ist nicht ganz richtig. Zusammenfassend gilt: r und s dürfen für a>0 reell sein und für a<0 müssen r und s rational mit ungeraden Nenner sein. Ist im Prinzip genau das, was auch bei Wikipedia steht.

Es gibt ein paar Stellen, die vermuten lassen, dass du nicht genau weißt, was reell, rational und irrational ist? Vielleicht das noch mal angucken. Und wie gesagt, falls du dieses Gesetz einfach nur anwenden musst und damit nichts "größeres" wie etwa ein Referat zu genau diesem Thema vor hast, dann musst du das alles eigentlich gar nicht so genau wissen. :P

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Vielen

Es gibt ein paar Stellen, die vermuten lassen, dass du nicht genau weißt, was reell, rational und irrational ist?

Gut gemerkt, jetzt fällt mit die Regel viel einfacher, habe vergessen was eine rationle Zahl ist ;)..

Wenn jedoch s=3/2 gilt, also rational ist, jedoch einen GERADEN Nenner hat, ergibt der Bruch etwas komplexes.

Das beduetet, dass die Regel dafür nicht anwendbar ist oder?

DAnke für deine Hilfe !!!

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Yukawah ich möchte Dich nicht nerven oder so, aber irgendwie steht in meinem Buch ein andere Kommentar als bei Wikipedia, kannst Du mri zustimmen, bin gerade etwas durcheinander.

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Zu deiner ersten Antwort: Genau, dafür darfst du die Formal nicht benutzen.

Zu deiner zweiten Antwort: Du nervst nicht. :P

Die Bedingungen auf deinem Bild sind alle auch in denen von Wikipedia enthalten. Die erste,

$$a \in \mathbb{R} \ , \quad a \neq 0 \ , \quad m, n \in \mathbb{Z} \ ,$$

kann unterteilt werden für a>0 und a<0. Wenn a>0 ist, dann kann m und n sowieso alles (alle reellen Zahlen) sein, also auch alle ganzen Zahlen Z. Für a<0 müssen m und n 1. rationale Zahlen sein (alle ganzen Zahlen Z sind rationale Zahlen, also erfüllt) und 2. müssen m und n einen ungeraden Nenner haben (da du jede ganze Zahl Z in einen Bruch mit Nenner 1 umwandeln kannst, hat jede ganze Zahl somit einen ungeraden Nenner und auch diese Bedingung ist erfüllt).

Die zweite Bedingung,

$$a \in \mathbb{R} \ , \quad a>0 \ , \quad m,n \in \mathbb{Q}$$

gilt auch offensicht. Wenn a>0 ist, dann dürfen m und n sogar reelle Zahlen sein und nicht höchstens rationale Zahlen.

Wie gesagt, das auf deinem Bild ist nicht falsch, aber es darf sogar noch ein bisschen mehr sein.

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Jetzt ist mir alles klar :D
Ich bedanke ich echt für deine große Hilfe.

Eine einizige Frage habe ich noch...

gilt auch offensicht. Wenn a>0 ist, dann dürfen m und n sogar reelle Zahlen sein und nicht höchstens rationale Zahlen.

Dort steht zum Schluss m,n Q (ration.)

Woher weiss man dadruch dass m und n auch reelle Zahlen sind ?

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Gern geschehen. :P

Dass m und n reell sein dürfen steht auf Wikipedia. "Deine" "Definition" sagt, dass die beiden Variablen nur rational sein dürfen.

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Okay nochmal vielen Dank für die große Hilfe.

Answer 2

Grenzwertsätze sind gut . Hast dich nur einmal verrechnet

...  = n^0,5 / ( n+1)  stimmt, aber dann

= (   1 /  n^0,5 )   / ( 1+1/n)    gibt  0 / ( 1+0 )  = 0.

Comments

1.) Wie kommt man auf:

n^0,5/n=1/n^0,5 ??

2.) Es handelt sich hier um die selbe Aufgabe wie bei https://www.mathelounge.de/314155/grenzwert-richtig-bestimmt

Dürfen also die Grnezwertsätze verwendet werden  ? Und was schreibt man unterhalb von Limes n-->? oder nur die Testeinsetzungen?

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Also diese Aufgabe war im Buch und dort wurden noch nicht die Grenzwertsätze erklärt.

Also ist es besser damit nicht zu arbeien, weil man nicht weiß was gilt n->uned / n->-uned.

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1.) Wie kommt man auf:

n^0,5/n=1/n^0,5

einfach mit n^0,5  gekürzt.