zusammengesetzte Aufgaben analysis

Question

Ich habe die Gleichung f(x)= -1/6x³ -x² +16/3 gegeben

Die Nullstellen habe ich bereits ausgerechnet. Und die Extremas auch, Tiefpunkt bei -4/0.

Nun steht als weitere Aufgabe

d) Für -5 <= x <= 0 beschreibt der Graph von f modelhaft den Querschnitt einer Senke. Am tiefsten Punkt wird ein Osterfeuer angezündet. Beschreiben Sie welche Punkte der Senke vom Feuer erleuchtet werden.

Ich habe nun f(x) gleich mx+4m gesetzt  (also meiner aufgestellten tangentengleichung mit Hilfe des linearfaktors )

Aufgelöst habe ich das mit polynomdivision, aber zum Schluss erhalte ich eine Ausdruck, mit dem ich nicht mehr weiß, was ich anfangen soll.. 

KANN MIR WER BEI DIESEN AUFGABEN HELFEN?

Wäre wirklich nett, danke :)

Answer 1

Ich hätte das wie folgt gelöst. Die Tangente an einem beliebigen Punkt \( (x_0,f(x_0)) \)der Kurve hat die Form
$$ t(x;x_0) = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) $$ Der Punkt \( x_0 \) sollte so gewählt werden, dass die Tangente durch den Punkt \( (-4 , 0) \), das Minimum, geht. D.h. man hat folgende Gleichung
$$ f'(x_0)(-4-x_0)+f(x_0) = 0  $$ nach \( x_0 \) aufzulösen. Es gilt
$$ f'(x_0)(-4-x_0)+f(x_0) =  \frac{(x_0+1)(x_0+4)^2}{3} $$
Also sind die Lösungen \( x_0 = -4 \) und \( x_0 = -1 \)

Die einzig in diesem Zusammenhang sinnvolle Lösung ist \( x_0 = -1 \)
Das heisst das Feuer leuchtet den Bereich im Intervall \( x \in [-5 , -1] \) aus.

Comments

Danke schon einmal :) aber könntest du mir noch erklären, wie ich genau auf den therm (x0+1)(x0+4)²÷3 komme? 

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Durch ausrechnen.

Answer 2

Hier zunächst der Sachverhalt als Skizze

Es ergibt sich die Formel mit

f(x)= -1/6x³ -x² +16/3
f ´( x ) = -0.5 * x^2 - 2 * x

Ausrechnen ergibt x = -1

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.