Extremwertaufgabe Pyramide 5-eckig aus Quadrat

Question

ich hätte eine Frage zur Lösung folgender Aufgabe:

Bei einem Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a wird von der Ecke D ausgehend je eine Strecke der Länge x in Richtung a bis zum Punkt E und in Richtung C bis zum Punkt F abgetragen. Dann wird das Quadrat längs EF so gefaltet, dass das Dreieck FDE senkrecht zum ursprünglichen Quadrat steht. Die hochstehende Ecke D bildet mit den Punkten A, B, C, F und E eine Pyradmide mit fünfeckiger Grundfläche.

Nun soll man das Volumen der Pyramide in Abhängigkeit von x darstellen, h ist gegeben durch h=Wurzel 2/2 x.

Ich gehe davon aus, dass man die Fläche EF über den Satz des Pythagoras berechnen kann, also AE²*CF²=EF²

Aber ich weiß leider nicht, wie ich dann weitermachen muss, könnt ihr mir vielleicht helfen?

Dankeschön!

                                                                                                                                                                                    

Answer 1

A(x) = 1/3 * G * H = 1/3 * (a^2 - 1/2*x^2) * √2/2 * x

Wir können das noch ausmultiplizieren

A(x) = √2/6·a^2·x - √2/12·x^3

Wenn man das jetzt noch maximieren will müsste man nach x ableiten und das gleich Nullsetzen

A'(x) = √2/6·a^2 - √2/4·x^2 = 0

Das kann ich jetzt einfach nach x auflösen

x = √6/3·a

Es gibt noch eine negative Lösung die allerdings nicht in den Definitionsbereich fällt.