2*n+1 bedeutet nur die ungeradzahligen ...
Also "alle minus die geraden"
Die Summenformel für "ALLE" ist geometrische Reihe (siehe Wikipedia)
sum (i)^{2n-1},n=1...k
= i/2-1/2 i*i^{2*k} Faktor ausklammern:
= i * [1/2 - 1/2*(-1)^k] und dieser konstante Faktor i kann vor Summen & Integralen gezogen werden!
Bei der Wandlung von einer partiellen Summe (bis k) in eine unendliche Summe vereinfacht sich nochmals einiges, da 2* ∞ = ∞
Der Startwert n=1 ist für Summen untypisch (Reihenentwicklung beginnt meist bei 0)
Beispiel für Reihenentwicklung 1/e = exp(-1)
der Startwert 0 wird erreicht, indem innerhalb der Summenformel (n-1) verwendet wird:
sum (-1)^{n-1}/(n-1)!,n=1...∞ = 1/e { bei n! würde 1-1/e rauskommen }
sum (i)^{2n-1}/(n-1)!,n=1...∞ = i * 1/e = i/e also stimmt
= i * sum (-1)^{n-1}/(n-1)!,n=1...∞
