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Ich verstehe eine sache nicht in der letzten zeile. Wie kommt man von (i)^{2n-1} darauf ein i  vor das Summenzeichen zu schreiben? Das ist doch falsch oder? für mich ist das i^2n/i = (-1)^{n-1} und ich kann da kein i rausziehen. Oder sehe ich das falsch.

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2*n+1 bedeutet nur die ungeradzahligen ...

Also "alle minus die geraden"

Die Summenformel für "ALLE" ist geometrische Reihe (siehe Wikipedia)

sum (i)^{2n-1},n=1...k

= i/2-1/2 i*i^{2*k} Faktor ausklammern:

= i * [1/2 - 1/2*(-1)^k] und dieser konstante Faktor i kann vor Summen & Integralen gezogen werden!

Bei der Wandlung von einer partiellen Summe (bis k) in eine unendliche Summe vereinfacht sich nochmals einiges, da 2* ∞ = ∞

Der Startwert n=1 ist für Summen untypisch (Reihenentwicklung beginnt meist bei 0)

Beispiel für Reihenentwicklung 1/e = exp(-1)

der Startwert 0 wird erreicht, indem innerhalb der Summenformel (n-1) verwendet wird:

sum (-1)^{n-1}/(n-1)!,n=1...∞ = 1/e  { bei n! würde 1-1/e rauskommen }

sum (i)^{2n-1}/(n-1)!,n=1...∞ = i * 1/e = i/e also stimmt

= i * sum (-1)^{n-1}/(n-1)!,n=1...∞

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