Bestimmung von Bild bei linearen Abbildungen

Question

Ich habe folgendes Problem

Untersuche sie ob die Folgende Abbildung x→Ax injektiv,surjektiv oder bijektiv ist. Unterscheiden sie weiters ob die Vektoren b1 und b2 im Bild der linearen Abbildung liegen.

A=                           b₁(0,0,1,1)^T b₂(1,2,4,4)^T

5	2	3	4
1	1	1	1
0	1	2	0
2	1	1	2

Ich habe mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren den Kern berechnet aber bin mir nicht sicher was ich daraus schließen kann.

Kann mir das jemand langsam vorrechnen und mir erklären was genau das Bild ist. Die Definition hab ich verstanden aber ich weiß nicht wie ich mir das vorstellen kann.

Lg

Answer 1

V = ℝ⁴, insbesondere ist V endlichdimensional.

Laut Dimensionssatz ist dim(Kern A) + dim(Bild A) = dim V.

A ist surjektiv genau dann wenn Bild A = V ist. Dazu genügt es, dass dim(Bild A) = dim(V) ist. Das kann nur dann der Fall sein, wenn dim(Kern A) = 0 ist, also wenn Kern A = {0} ist.

Lineare Abbildungen von V in sich selbst sind genau dann injektiv, wenn sie surjektiv sind.

Abbildungen sind genau dann injektiv, wenn sie surjektiv sind und injektiv sind.

Mit der Bestimmung des Kernes hast du also den größten Teil der Arbeit schon hinter dir, den Rest schaffst du auch noch.

Comments

OK die Dim vom Kern hatte ich schon bestimmt und zwar ist die 0. Das bedeutet also das die Dim vom Bild=4 sein muss. Das bedeutet dann wohl das die Abbildung Surjektiv ist.

Ich hätte aber noch eine Frage: Wie kann ich ganz allgemein die Dimension des Bildes bestimmen bzw. was ist das Bild A an sich? Kann ich die Dimension auch ohne Dimensionssatz bestimmen auch wenn das in dem Beispiel nicht zweckmäßig wäre?

---

Laut Definition ist das Bild die Menge der Vektoren, die durch Multiplikation von A mit einem Vektor von V entstehen können.

Die Matrix-Vektor-Multiplikation ist zufälligerweise so beschaffen, dass das Bild das Erzeugnis der Spaltenvektoren ist. Die Dimension des Bildes kannst du also herausfinden indem du eine maximale linear unabhängige Teilmenge der Spaltenvektoren findest. Das geht mit dem Gauß-Algorithmus. Hat man die Matrix in Zeilenstufenform, dann gehört eine Spalte zur maximalen linear unabhängigen Teilmenge wenn es in der Spalte einen Eintrag gibt

• der ungleich Null ist
• und unterhalb dem in der Spalte nur Nullen stehen
• und links von dem Eintrag in der Zeile nur Nullen stehen.
  

---

Danke für die Antwort trotz der späten Uhrzeit. Ganz verstanden hab ich es aber trotzdem noch nicht.

Bei meiner Matrix in Zeilenstufenform steht dann:

1	1	1	1
0	-3	-2	-1
0	0	4	-1
0	0	0	3

Ich habe jetzt 4 Spalten die Ungleich Null sind und 3 unter denen eine Null steht.2 von denen haben links vom Eintrag ebenfalls eine Null stehen. Die Dimension des Bildes müsste aber laut Dimensionssatz 4 sein. Mir ist leider auch noch nicht ganz klar wie ich untersuchen soll ob die Vektoren b1 und b2 im Bild liegen.

Danke nochmals für die Antwort und die Geduld

---

> und unterhalb dem in der Spalte nur Nullen stehen

Gemeint war, dass unter dem Eintrag keine anderen Werte als Null stehen. Die vierte Spalte gehört also dazu.

> und links von dem Eintrag in der Zeile nur Nullen stehen.

Gemeint war, dass links davon keine anderen Werte als Null stehen. Die erste Spalte gehört also dazu.

> Mir ist leider auch noch nicht ganz klar wie ich untersuchen soll ob die Vektoren b1 und b2 im Bild liegen.

Allgemein: löse das Gleichungssystem Ax = b₁ bzw. Ax = b₂. Spezielle in diesem Fall kannst darauf aber verzichten und statdessen damit argumentieren, das b₁ ∈ ℝ⁴ = Bild A ist.

---

Das heißt ja dann eigentlich dass das Bild das selbe wie der Rang einer Matrix ist, nur das ich mir beim Bild die Spaltenvektoren und nicht die Zeilenvektoren anschauen. Hab ich das so weit richtig verstanden?

---

> Das heißt ja dann eigentlich dass das Bild das selbe wie der Rang einer Matrix ist

Der Rang ist eine Zahl, das Bild ist eine Menge. Die Verbindung zwischen den beiden ist, dass der Rang gleich der Dimension des Bildes ist.

---

Ok vielen Dank jetzt hab ich alles verstanden!