Wie komme ich zu dieser Ungleichung? e^{π/e} ≥1 + π/e -1=π/e

Question

Diese Aufgabe ist aus " Arens et al:":verwenden Sie die Ungleichung:

1+x ≤ exp(x) um zu entscheiden,welche der beiden Zahlen  π ^e oder e^π größer ist?

In dem Lösungen steht dann:Aus der obigen Ungleichung folgt:

e^π/e≥1 + π/e -1=π/e.

Diesen Schritt verstehe ich nicht ?Danke für eine etwaige Hilfe.

Comments

So, wie Du es hingeschrieben hast, ist es auch Bloedsinn: Es wird mit $$e^{\pi/e-1}>\frac{\pi}{e}$$ anfangen. Fuer den Rest braucht's nur elementare Rechenregeln.

Answer 1

eigentlich brauchst du die Formel   1+x < e^x  für x≠0 !  [Edit vgl. 1.Kommentar]

Einsetzen von x = π/e - 1 ( ≠ 0 !) :

e^π/e-1 > 1 + π/e -1  = π/e  | • e

e^π/e  >  π    | ^e

e^π  >  π^e

Gruß Wolfgang

Comments

Die Einschränkung liegt bei \( x \neq 0\).

---

Danke Yakyu, du hast wie immer recht. Habe es korrigiert.

---

Soweit verstehe  ich das,aber wie kommst Du auf x = π/e - 1 ( ≠ 1 !),

Besten Dank

---

JO: Es wurde inzwischen zu

 x = π/e - 1 , (x ≠ 0 )       korrigiert. 

Grund eine Zeile weiter oben: 1+0 = e⁰

---

Hurra,ich habs gefunden.Du hast erst einmal vorausgesetzt,dass beide gleich sind :π/e=1=x.

also π/e-1=x.Besten Dank