Du darfst nie das Wesentliche aus den Augen verlieren; leider steht die Originalaufgabe wieder mal nicht da.
Giuseppe Lodovico Spaghjettix Lagrangia da Torino betrachtet ja nie individuelle Minimaxaufgaben, sondern jede Nebenbedingung gibt dir eine ganze Klasse von ===> Hyperflächen
F ( x1 , x2 , . . . , x ) = extr ( 1a )
n
G ( x1 , x2 , . . . , x ) = c = const ( 1b )
k n k
Ich war ja selber mal Übungsleiter gewesen; genau wie in der Mechanik die ===> Zwangskräfte senkrecht stehen auf der Führungsfläche, so zeigt der Gradient von ( 1b ) in die Richtung des steilsten Anstiegs von ( 1b ) ( Einen Gradienten kann immer nur eine FlächenSCHAR haben, niemals eine Einzelfläche. )
Der Lagrangeparameter ( LP ) ist nichts weiter als der Beitrag von ( 1b ) zu der Linearkombination, die nachher grad ( F ) ergibt ( F ist praktisch das ===> Potenzial, dessen Extremwerte auf den Hyperebenen ( 1b ) du suchst. )
Langer Rede kurzer Sinn; da der spezielle Wert der Konstante c ( k ) von ( 1b ) nirgends konkret in das Verfahren einfließt - es wird gerade nicht " eingesetzt " - bekommst du die Lösung immer in Form eines ALLGEMEINEN Gesetzes, einer der ganz wesentlichen Gründe, warumwir Physiker diesen Algoritmus bevorzugen. In deinem Fall wird man als aller Erstes bestrebt sein, diese beiden Dummies, die LP , zu eliminieren, um diese allgemeine Gesetzmäßigkeit zu isolieren.
2 x + k1 = 0 ===> k1 = - 2 x ( 2a )
2 z + k2 = 0 ===> k2 = - 2 z ( 2c )
Na also; es stellt sich sogar heraus, dass die beiden LP separieren. Kein Grund zur Panik; für jeden der beiden LP findet sich seine jeweils eigene Bestimmungsgleichung. Jetzt einsetzen der LP in ( 2b )
2 y + k1 + k2 = 0 ( 2b )
y - x - z = 0 ( 3a )
y = x + z ( 3b )
So; jetzt sieht das schon mal nach was Anständigem aus.
Warum nummerierst du deine Gleichungen nicht so wie ich? Hier ich tu dir doch Kritik und Rückfragen erleichtern. Du musst praktisch ein Gefühl dafür kriegen, dass das, was jetzt noch kommt, nichts weiter ist als Nachbereitung. Gerade für Schüler wäre dieser Lagrange doch ideal, damit die endlich mal Ordnung in ihre Aufzeichnungen kriegen:
1) Stelle die Hauptbedingung ( 1a ) auf.
2) Protokolliere alle Nebenbedingungen ( 1b )
3) Bilde die Linearkombination
4) Gradient Null setzen ( notwendige Bedingung )
5) Eliminiere alle LP ( Sind doch nur lästige Dummies )
6) Überlege; wie viel Bestimmungsgleichungen bleiben über ( Vorsicht; auch bei 4 711 Variablen könnte es trotzdem nur eine sein. ) Was jetzt noch über bleibt, sind in jedem Falle allgemeine Gesetze.
7) Nachbereitung im Hinblick auf den konkreten Einzelfall
Mit ( 2a-c;3ab ) hatten wir grade Phase ( 6 ) durchlaufen. Jetzt hast du noch ein 2 X 3 LGS .zur Nachbereitung. Es ist doch immer wieder erhebend, wenn Einem etwas auffällt, eine spezielle Symmetrie.
x + y = 1 ( 4a )
y + z = 2 ( 4b )
Jetzt tue ich etwas ganz Verwegenes; Additionsverfahren ( 4a ) + ( 4b ) Aber unter Beachtung von ( 3b )
2 y + ( x + z ) = 3 ( 5a )
3 y = 3 ===> y = 1 ( 5b )
Alles, was jetzt noch zu tun bleibt: y einsetzen in ( 4ab ) ===> x = 0 ; z = 1
