Determinante schiefsymmetrisch wenn..

Question

Sei n \(\in\) N und A \(\in\) Mn(K). Die Matrix A heisst schiefsymmetrisch,

wenn \(a_{ji}\) = \(-

EDIT: Frage im 3. Kommentar.

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Sei n \(\in\) N und A \(\in\) Mn(K). Die Matrix A heisst schiefsymmetrisch,

wenn \(a_{ji}\) = \(-

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Sei n \(\in\) N und A \(\in\) Mn(K). Die Matrix A heisst schiefsymmetrisch,

wenn \(a_{ji}\) = -aij für jede i,j\(\in\){1,.....n} mit \(j\neq i\) und \(a_{ii}=0\) für alle i in {1,....n}

1. Sei char(K) \(\neq\) 2. Zeigen Sie, dass A genau dann schiefsymmetrisch ist, wenn

A^t =    -A

Was gilt für char(K) = 2?

2. Sei char(K) (\neq\)  2 und A schiefsymmetrisch. Zeigen Sie: Ist n ungerade, dann gilt

detA = 0. Wo geht die Bedingung char(K) (\neq\) 2 ein?

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EDIT: Die Umwandlung deiner Eingabe klappt unter 2. irgendwie nicht.

Answer 1

Sei n ∈ N und A ∈ Mn(K). und  A schiefsymmetrisch,

⇒  aji = - aij       f.alle i,j∈{1,.....n} mit  i≠j   und  a ii = 0 f. alle i in {1,....n}

also ist   A^t =    -A; denn   in A^t entspricht a_ji dem Element a_ij von A

also ist das negative des einen gleich dem anderen. Und in der

Hauptdiagonale stehen bei beiden 0en, also ist auch a_ii = -a_ii 

Das gilt also auch bei char(K)=2.

umgekehrt:      A^t =    -A   dann ist   aji = - aij       f.alle i,j∈{1,.....n} mit  i≠j  

aber in der Hauptdiagonalen gilt   a_ii = -a_ii

also a_ii + a_ii = 0   ⇔ a_ii * ( 1 + 1 ) = 0

und wegen char(K) ≠ 2 ist   1+1 ≠ 0 also a_ii =0 f.  alle i in {1,....n}

Bei char=2 gilt in der Hauptdiagonalen   a_ii = -a_ii 

aber  wegen -x = x für alle x aus K steht also in der

Hauptdiagonale irgendwas nur die Gleichung

aji = - aij       f.alle i,j∈{1,.....n} mit  i≠j    stimmt. und

besagt hier also   aji =  aij    .

Also ist M dann  symmetrisch.

2. wegen  det (A^t) = det(A)  und

det (c*A) = c^n * det(A) bei Multiplikation der Matrix mit c aus K

folgt  also aus       A^t =    -A

det(A) =  (-1)^n * det (A) und wegen n ungerade also

det(A) = - det (A) und wegen char(K)≠2 also  det(A)=0.